解説

方針・初手

与えられた条件 $a+b=1$ を用いて式を変形し、相加平均と相乗平均の大小関係を適用できる形に持ち込むのがセオリーである。式を展開してから $a+b$ の形を作り出す方針と、先に分数部分を $a, b$ の比で表す方針が考えられる。

解法1

与式を展開する。

$$ \left(2 + \frac{1}{a}\right)\left(2 + \frac{1}{b}\right) = 4 + \frac{2}{b} + \frac{2}{a} + \frac{1}{ab} $$

$$ = 4 + \frac{2(a+b)}{ab} + \frac{1}{ab} $$

条件 $a+b=1$ を代入すると、

$$ 4 + \frac{2 \cdot 1}{ab} + \frac{1}{ab} = 4 + \frac{3}{ab} $$

となる。

ここで、$a > 0, b > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$ a + b \ge 2\sqrt{ab} $$

$a+b=1$ を代入して、

$$ 1 \ge 2\sqrt{ab} $$

両辺ともに正であるから、両辺を2乗して整理すると、

$$ 1 \ge 4ab $$

$$ ab \le \frac{1}{4} $$

等号成立は $a=b$ のときであり、$a+b=1$ と併せて $a=b=\frac{1}{2}$ のときである。

$a>0, b>0$ より $ab>0$ であり、$ab$ が最大値 $\frac{1}{4}$ をとるとき、$\frac{3}{ab}$ は最小となる。 したがって、与式の最小値は、

$$ 4 + \frac{3}{\frac{1}{4}} = 4 + 12 = 16 $$

となる。

解法2

条件式 $a+b=1$ を用いて、$\frac{1}{a}$ および $\frac{1}{b}$ の分子を書き換える。

$$ \frac{1}{a} = \frac{a+b}{a} = 1 + \frac{b}{a} $$

$$ \frac{1}{b} = \frac{a+b}{b} = \frac{a}{b} + 1 $$

これらを与式に代入する。

$$ \left(2 + \frac{1}{a}\right)\left(2 + \frac{1}{b}\right) = \left(2 + 1 + \frac{b}{a}\right)\left(2 + \frac{a}{b} + 1\right) = \left(3 + \frac{b}{a}\right)\left(3 + \frac{a}{b}\right) $$

展開すると、

$$ 9 + 3\frac{a}{b} + 3\frac{b}{a} + 1 = 10 + 3\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) $$

となる。

$a>0, b>0$ より $\frac{a}{b}>0, \frac{b}{a}>0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2 $$

等号成立は $\frac{a}{b} = \frac{b}{a}$、すなわち $a^2 = b^2$ のときであり、$a>0, b>0$ より $a=b$、すなわち $a=b=\frac{1}{2}$ のときである。

したがって、与式の最小値は、

$$ 10 + 3 \cdot 2 = 16 $$

となる。

解説

条件付きの分数式の最小値を求める問題では、相加平均と相乗平均の大小関係が有効な場合が多い。解法1のように展開して積 $ab$ の形に帰着させるのが最も標準的な方針である。解法2のように、分子の $1$ を $a+b$ に置き換えて「比」の形を作り出すと、展開後の変数が $\frac{a}{b}$ と $\frac{b}{a}$ のように互いに逆数となるため、相加・相乗平均に持ち込みやすくなる。いずれの解法においても、最小値が存在することを保証するために「等号成立条件」を確認することを忘れてはならない。

答え

16