解説

方針・初手

絶対値記号を含む関数であるため、まずは絶対値の中身の正負によって場合分けを行い、関数 $f(x)$ を絶対値を含まない形で表す。これにより、グラフは複数の放物線の一部から構成されることがわかる。(2)や(3)については、区間の幅が $1$ で一定であることに着目し、区間の位置（$t$ の値）を変化させながら最大値がどこでとられるかをグラフの増減から読み取って場合分けを行う。

解法1

**(1)**

$f(x) = (2-x)|x+1|$ について、絶対値の中身の正負で場合分けする。

**(i)** $x+1 \geqq 0$ すなわち $x \geqq -1$ のとき $|x+1| = x+1$ であるから、 $$f(x) = (2-x)(x+1) = -x^2+x+2 = -\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{9}{4}$$ グラフは頂点が $\left(\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)$ で上に凸の放物線の一部である。また、$x$軸との交点は $x=-1, 2$ である。

**(ii)** $x+1 < 0$ すなわち $x < -1$ のとき $|x+1| = -(x+1)$ であるから、 $$f(x) = -(2-x)(x+1) = x^2-x-2 = \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}$$ グラフは頂点が $\left(\frac{1}{2}, -\frac{9}{4}\right)$ で下に凸の放物線の一部である。$x < -1$ の範囲では単調減少する。

以上より、$y=f(x)$ のグラフは $x<-1$ において単調減少し、$x=-1$ で $x$軸に接するように折れ曲がり（$y=0$）、$x \geqq -1$ では $x=\frac{1}{2}$ で極大値 $\frac{9}{4}$ をとったのち減少する概形となる。

**(2)**

区間 $t \leqq x \leqq t+1$ における $f(x)$ の最大値 $g(t)$ を与える $x$ の値が2つ存在するのは、区間の両端で最大値をとるとき、すなわち $f(t) = f(t+1)$ であり、かつ区間内に両端の値を超える点が存在しない場合である。

グラフより、$f(t) = f(t+1)$ となるのは以下の2つの場合が考えられる。

**(ア)** $t < -1$ かつ $-1 \leqq t+1 < \frac{1}{2}$ のとき このとき、$f(t) = t^2-t-2$、$f(t+1) = -(t+1)^2+(t+1)+2 = -t^2-t+2$ である。 $f(t) = f(t+1)$ とすると、 $$t^2-t-2 = -t^2-t+2$$

$$2t^2 = 4$$

$$t = \pm\sqrt{2}$$ $t < -1$ を満たすのは $t = -\sqrt{2}$ である。 このとき、区間は $\left[-\sqrt{2}, 1-\sqrt{2}\right]$ となる。$-\sqrt{2} \approx -1.41$、$1-\sqrt{2} \approx -0.41$ より、区間内に極小となる $x=-1$ が含まれ、この区間において最大値は端点でとるため条件を満たす。

**(イ)** $-1 \leqq t < \frac{1}{2}$ かつ $\frac{1}{2} < t+1$ のとき $t$ と $t+1$ はともに $x \geqq -1$ の範囲にある。 $f(t)$ と $f(t+1)$ は上に凸の放物線 $y = -x^2+x+2$ 上の値であるから、これらが等しくなるのは放物線の軸 $x=\frac{1}{2}$ に関して対称なときである。 $$\frac{t + (t+1)}{2} = \frac{1}{2}$$

$$2t+1 = 1$$

$$t = 0$$ このとき区間は $[0, 1]$ となり、区間内に極大値をとる $x=\frac{1}{2}$ が含まれる。最大値は $f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{9}{4}$ となり、最大値を与える $x$ は $x=\frac{1}{2}$ の1つのみとなるため不適である。

以上より、求める $t$ の値は $t = -\sqrt{2}$ である。

**(3)**

$g(t) = f(t)$ となるのは、区間 $t \leqq x \leqq t+1$ における最大値が左端 $x=t$ でとられる場合である。$t$ の値によって場合分けをして考える。

**(i)** $t+1 \leqq -1$ すなわち $t \leqq -2$ のとき 区間全体において $f(x)$ は単調減少するため、最大値は常に左端の $f(t)$ となり、$g(t)=f(t)$ を満たす。

**(ii)** $t < -1 < t+1 \leqq \frac{1}{2}$ すなわち $-2 < t \leqq -\frac{1}{2}$ のとき 区間内に最小値 $0$ をとる $x=-1$ が含まれる。最大値が $f(t)$ となるための条件は、$f(t) \geqq f(t+1)$ となることである。 (2)の(ア)より、 $$t^2-t-2 \geqq -t^2-t+2$$

$$2t^2 - 4 \geqq 0$$

$$t^2 \geqq 2$$ したがって、$t \leqq -\sqrt{2}$ または $\sqrt{2} \leqq t$ となる。 場合分けの条件 $-2 < t \leqq -\frac{1}{2}$ と合わせて、$-2 < t \leqq -\sqrt{2}$ を得る。

**(iii)** $t < \frac{1}{2} < t+1$ すなわち $-\frac{1}{2} < t < \frac{1}{2}$ のとき 区間内に極大値（全体の最大値）をとる $x=\frac{1}{2}$ が含まれるため、最大値は $g(t) = f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{9}{4}$ となる。 $g(t)=f(t)$ となるためには $f(t) = \frac{9}{4}$ である必要があるが、この範囲で $f(t) = \frac{9}{4}$ を解くと $t = \frac{1}{2}$ となり、範囲を満たす解は存在しない。

**(iv)** $\frac{1}{2} \leqq t$ のとき 区間全体において $f(x)$ は単調減少するため、最大値は常に左端の $f(t)$ となり、$g(t)=f(t)$ を満たす。

以上 (i) 〜 (iv) より、求める $t$ の範囲は $t \leqq -\sqrt{2}$ および $\frac{1}{2} \leqq t$ である。

解説

2次関数と絶対値が絡む最大値・最小値問題の典型的な構成である。区間幅が一定のまま動く関数の最大値の変化を追う際は、グラフの増減の切り替わり（極値をとる点）と区間の関係に注目することが基本となる。(2)は「最大値を与える $x$ が2つある」という条件から、端点での値が一致することを立式するが、そのときに区間内にそれを超える値がないか（頂点の含有）を必ず確認する必要がある。(3)も同様に、左端が最大になるための条件をグラフの形状から丁寧な場合分けで拾い上げる力が問われている。

答え

(1) $x<-1$ で単調減少し $x=-1$ で $x$軸と交わり、$x \geqq -1$ では上に凸の放物線となり頂点 $\left(\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)$ を通り $x=2$ で $x$軸と交わる概形。（詳細は解法1を参照）

(2) $t = -\sqrt{2}$

(3) $t \leqq -\sqrt{2}, \quad \frac{1}{2} \leqq t$