解説

方針・初手

与えられた関係式や目的の式が $x, y$ の対称式であることに着目する。対称式は基本対称式 $x+y=s,\ xy=t$ を用いて表すことができるため、すべて $s, t$ の式に書き換えるのが定石である。また、$x, y$ が「実数」であるという条件から、$s, t$ の間には制約が生じる。この制約を元に $s$ のとり得る値の範囲を求めることが、その後の最大値・最小値問題の定義域となる。

解法1

**(1)**

与えられた関係式は以下の通りである。

$$ x^2 + xy + y^2 = 3 $$

左辺を $x+y$ と $xy$ を用いて変形する。

$$ (x+y)^2 - xy = 3 $$

これに $x+y=s,\ xy=t$ を代入する。

$$ s^2 - t = 3 $$

よって、$t$ を $s$ の式で表すと以下のようになる。

$$ t = s^2 - 3 $$

**(2)**

$x, y$ は実数であるから、$x, y$ を2つの解にもつ $X$ の2次方程式を考えると、実数解をもつための条件から $s$ の範囲が定まる。 $x, y$ を解にもつ2次方程式の1つは、解と係数の関係より以下の式で表される。

$$ X^2 - (x+y)X + xy = 0 $$

すなわち、

$$ X^2 - sX + t = 0 $$

この2次方程式が実数解をもつための条件は、判別式を $D$ とすると $D \geqq 0$ であることである。

$$ D = s^2 - 4t \geqq 0 $$

(1) の結果 $t = s^2 - 3$ を代入する。

$$ s^2 - 4(s^2 - 3) \geqq 0 $$

整理する。

$$ \begin{aligned} s^2 - 4s^2 + 12 &\geqq 0 \\ -3s^2 + 12 &\geqq 0 \\ s^2 - 4 &\leqq 0 \\ (s+2)(s-2) &\leqq 0 \end{aligned} $$

これを解いて、$s$ のとり得る値の範囲は以下のようになる。

$$ -2 \leqq s \leqq 2 $$

**(3)**

$x^2 + y^2 + x + y = k$ について、左辺を $x+y$ と $xy$ を用いて変形する。

$$ k = (x+y)^2 - 2xy + (x+y) $$

これに $x+y=s,\ xy=t$ を代入する。

$$ k = s^2 - 2t + s $$

(1) の結果 $t = s^2 - 3$ を代入して整理する。

$$ \begin{aligned} k &= s^2 - 2(s^2 - 3) + s \\ &= s^2 - 2s^2 + 6 + s \\ &= -s^2 + s + 6 \end{aligned} $$

よって、$k$ は以下のようになる。

$$ k = -s^2 + s + 6 $$

**(4)**

(3) より、$k$ は $s$ の2次関数として表される。

$$ k = -s^2 + s + 6 $$

これを平方完成する。

$$ \begin{aligned} k &= -\left(s^2 - s\right) + 6 \\ &= -\left(s - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} + 6 \\ &= -\left(s - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{25}{4} \end{aligned} $$

(2) より、$s$ の定義域は $-2 \leqq s \leqq 2$ である。 この区間において、関数は上に凸の放物線であり、軸は $s = \frac{1}{2}$ である。軸は区間内に含まれるため、頂点で最大値をとる。

$s = \frac{1}{2}$ のとき、最大値 $M$ は以下のようになる。

$$ M = \frac{25}{4} $$

また、軸から遠い方の端点で最小値をとる。定義域の端点は $s = -2$ と $s = 2$ であり、軸 $s = \frac{1}{2}$ からの距離を比べると、$s = -2$ の方が遠い。 したがって、$s = -2$ のとき、最小値 $m$ は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} m &= -(-2)^2 + (-2) + 6 \\ &= -4 - 2 + 6 \\ &= 0 \end{aligned} $$

よって、$M$ と $m$ の値が求められた。

解説

2変数の対称式を扱う典型的な問題である。「実数 $x, y$」という条件が与えられたとき、基本対称式 $s, t$ の間に $s^2 - 4t \geqq 0$ という不等式（実数存在条件）が隠れていることを見落とさないようにするのが最大のポイントである。この制約によって(4)における定義域が決定し、正しい最大値・最小値を得ることができる。

答え

(1) $t = s^2 - 3$

(2) $-2 \leqq s \leqq 2$

(3) $k = -s^2 + s + 6$

(4) $M = \frac{25}{4},\ m = 0$