解説

方針・初手

与えられた式を $x$ と $y$ の2変数関数とみなし、どちらか一方の文字について整理して平方完成を行うのが定石である。「$(実数)^2 \geqq 0$」の性質を利用して最小値を求める。また、式を定数 $k$ とおき、実数解をもつ条件（判別式）から $k$ のとりうる値の範囲を求める手法も有効である。

解法1

与式を $P$ とおく。$x$ について式を整理し、平方完成を行う。

$$ \begin{aligned} P &= x^2 - 2(y-2)x + 2y^2 - 2y + 6 \\ &= \{x - (y-2)\}^2 - (y-2)^2 + 2y^2 - 2y + 6 \\ &= (x - y + 2)^2 - (y^2 - 4y + 4) + 2y^2 - 2y + 6 \\ &= (x - y + 2)^2 + y^2 + 2y + 2 \end{aligned} $$

残りの $y$ の部分についても平方完成を行う。

$$ \begin{aligned} P &= (x - y + 2)^2 + (y+1)^2 - 1 + 2 \\ &= (x - y + 2)^2 + (y+1)^2 + 1 \end{aligned} $$

$x, y$ は実数であるから、$(x - y + 2)^2 \geqq 0$ かつ $(y+1)^2 \geqq 0$ が成り立つ。

したがって、$P \geqq 1$ である。

等号が成立するのは、$x - y + 2 = 0$ かつ $y + 1 = 0$ のときである。

これを解くと、$y = -1, x = -3$ となり、これらは実数であるから条件を満たす。

よって、$P$ のとりうる最小の値は $1$ である。

解法2

与式を $k$ とおく。

$$ x^2 - 2xy + 2y^2 - 2y + 4x + 6 = k $$

これを $x$ についての2次方程式とみて整理する。

$$ x^2 - 2(y-2)x + 2y^2 - 2y + 6 - k = 0 $$

$x$ は実数であるから、この方程式は実数解をもつ。

判別式を $D$ とすると、$D \geqq 0$ であることが必要である。

$$ \begin{aligned} \frac{D}{4} &= \{-(y-2)\}^2 - 1 \cdot (2y^2 - 2y + 6 - k) \\ &= y^2 - 4y + 4 - 2y^2 + 2y - 6 + k \\ &= -y^2 - 2y - 2 + k \end{aligned} $$

$D \geqq 0$ より、

$$ -y^2 - 2y - 2 + k \geqq 0 $$

$y$ について整理して平方完成を行う。

$$ \begin{aligned} y^2 + 2y + 2 - k &\leqq 0 \\ (y+1)^2 + 1 - k &\leqq 0 \\ (y+1)^2 &\leqq k - 1 \end{aligned} $$

$y$ は実数であるから、$(y+1)^2 \geqq 0$ である。

したがって、上式を満たす実数 $y$ が存在するためには、右辺も $0$ 以上でなければならない。

$$ \begin{aligned} k - 1 &\geqq 0 \\ k &\geqq 1 \end{aligned} $$

$k = 1$ のとき、$(y+1)^2 \leqq 0$ となり、実数 $y$ は $y = -1$ に限られる。

このとき、もとの $x$ の方程式は $x^2 - 2(-1-2)x + 2(-1)^2 - 2(-1) + 6 - 1 = 0$ すなわち $x^2 + 6x + 9 = 0$ となり、重解 $x = -3$ をもつ。

よって、求める最小値は $1$ である。

解説

2変数の2次式の最大・最小問題における典型的なパターンである。

基本は解法1のように「1文字で整理して平方完成し、さらに残りの文字で平方完成する」ことである。$(実数)^2 \geqq 0$ を作り出すことで最小値が求まる。この際、最小値を与える $x, y$ の値が実数として存在するか（等号成立条件）を必ず確認すること。

解法2は、2変数関数の値域を求めるために「式の値を $k$ とおき、実数解をもつ条件に帰着させる」という、いわゆる逆手流（逆像法）の考え方である。判別式を用いることで $k$ の範囲が絞り込める。計算量は解法1の方が少ないことが多いが、汎用性の高い考え方である。

答え

$1$