解説

方針・初手

線分 $\text{PQ}$ の長さを $x$ とおき、正方形の縦の長さ（$x$）と、線分 $\text{PQ}$ と辺 $\text{BC}$ との距離の大小関係に注目する。正方形の下辺が辺 $\text{BC}$ の上側にあるか、下側にはみ出すかによって共通部分の図形が変わるため、場合分けを行う。

解法1

**(1)**

点 $\text{A}$ から辺 $\text{BC}$ に下ろした垂線と $\text{BC}$ の交点を $\text{H}$、$\text{PQ}$ との交点を $\text{K}$ とする。 正三角形 $\text{ABC}$ の1辺の長さは $1$ であるから、その高さ $\text{AH}$ は

$$ \text{AH} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

である。 $\text{PQ} \parallel \text{BC}$ より $\triangle\text{APQ} \sim \triangle\text{ABC}$ であり、相似比は $\text{PQ} : \text{BC} = x : 1$ である。 したがって、$\triangle\text{APQ}$ の高さ $\text{AK}$ は

$$ \text{AK} = \frac{\sqrt{3}}{2}x $$

となる。 線分 $\text{PQ}$ と辺 $\text{BC}$ の距離 $h$ は、$\text{AH} - \text{AK}$ で求められるため、

$$ h = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}x = \frac{\sqrt{3}}{2}(1-x) $$

である。 また、点 $\text{P}$, $\text{Q}$ から辺 $\text{BC}$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $\text{P}'$, $\text{Q}'$ とすると、$\angle\text{B} = \angle\text{C} = 60^\circ$ であるため、$\text{P}'$, $\text{Q}'$ は線分 $\text{BC}$ 上にある。 すなわち、正方形が $\triangle\text{ABC}$ から横方向にはみ出すことはない。 正方形の1辺の長さは $x$ であるから、正方形が辺 $\text{BC}$ の下側にはみ出すかどうか、すなわち $x$ と $h$ の大小関係で場合分けをする。点 $\text{P}, \text{Q}$ は辺 $\text{AB}, \text{AC}$ 上の点なので $0 < x < 1$ である。

**(i)** $x \le h$ のとき

$$ x \le \frac{\sqrt{3}}{2}(1-x) $$

これを解くと、

$$ \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)x \le \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ x \le \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{4-3} = 2\sqrt{3}-3 $$

このとき、正方形は完全に $\triangle\text{ABC}$ の内部または辺上に含まれる。 したがって、共通部分の面積 $y$ は正方形の面積そのものとなり、

$$ y = x^2 $$

**(ii)** $x > h$ のとき

すなわち $2\sqrt{3}-3 < x < 1$ のとき、正方形の下部は辺 $\text{BC}$ より下側にはみ出す。 共通部分は、縦が $h$、横が $x$ の長方形となるため、

$$ y = x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}(1-x) = \frac{\sqrt{3}}{2}(x-x^2) $$

以上をまとめると、

$$ y = \begin{cases} x^2 & (0 < x \le 2\sqrt{3}-3) \\ \frac{\sqrt{3}}{2}(x-x^2) & (2\sqrt{3}-3 < x < 1) \end{cases} $$

となる。

**(2)**

**(1)** の各場合について最大値を調べる。

**(i)** $0 < x \le 2\sqrt{3}-3$ のとき

$y = x^2$ は単調増加であるから、$x = 2\sqrt{3}-3$ のとき最大となる。

$$ y = (2\sqrt{3}-3)^2 = 12 - 12\sqrt{3} + 9 = 21 - 12\sqrt{3} $$

**(ii)** $2\sqrt{3}-3 < x < 1$ のとき

$$ y = -\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x^2 - x\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{\sqrt{3}}{8} $$

ここで、$2\sqrt{3}-3 = \sqrt{12}-3$ であり、$3 < \sqrt{12} < 3.5$ （$3.5^2 = 12.25$ より）であるため、$0 < 2\sqrt{3}-3 < 0.5$ である。 したがって、区間 $2\sqrt{3}-3 < x < 1$ に $x = \frac{1}{2}$ は含まれる。 よって、$x = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{\sqrt{3}}{8}$ をとる。

最後に、**(i)** と **(ii)** の最大値を比較する。

$$ \frac{\sqrt{3}}{8} - (21-12\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3} - 168 + 96\sqrt{3}}{8} = \frac{97\sqrt{3}-168}{8} $$

ここで、$(97\sqrt{3})^2 = 9409 \times 3 = 28227$、$168^2 = 28224$ である。 $28227 > 28224$ より $97\sqrt{3} > 168$ となるため、

$$ \frac{\sqrt{3}}{8} > 21-12\sqrt{3} $$

である。 したがって、求める最大値は $\frac{\sqrt{3}}{8}$ である。

解説

図形の面積を関数として表し、最大値を求める標準的な問題である。正方形が $\triangle\text{ABC}$ の内部に収まるか、下側にはみ出すかによる場合分けがポイントとなる。また、場合分けの境界における値の評価や、頂点の $x$ 座標が定義域に含まれるかどうかの確認、平方根を含む数の大小比較など、細かい処理を正確に行う力が問われている。

答え

**(1)**

$0 < x \le 2\sqrt{3}-3$ のとき、$y = x^2$

$2\sqrt{3}-3 < x < 1$ のとき、$y = \frac{\sqrt{3}}{2}(x-x^2)$

**(2)**

$\frac{\sqrt{3}}{8}$