解説

方針・初手

2次関数の最大値・最小値に関する問題である。 (1)は方程式 $f(x)=x$ を解いて区間の端点 $a, b$ を求め、放物線の軸と区間の位置関係から最大値と最小値を決定する。 (2)は区間 $p \leqq x \leqq q$ と放物線の軸 $x=0$ の位置関係によって、最大値と最小値をとる $x$ の値が変わる。したがって、軸が区間の左側、右側、内部にある場合の3パターンに場合分けを行って調べるのが基本方針となる。

解法1

**(1)**

条件 $f(x) = x$ を解く。

$$ \frac{5}{4}x^2 - 1 = x $$

両辺を4倍して整理する。

$$ 5x^2 - 4x - 4 = 0 $$

解の公式を用いて $x$ を求める。

$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 5 \cdot (-4)}}{5} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{5} $$

$a < b$ かつ $f(a)=a, f(b)=b$ であるから、

$$ a = \frac{2 - 2\sqrt{6}}{5}, \quad b = \frac{2 + 2\sqrt{6}}{5} $$

$f(x) = \frac{5}{4}x^2 - 1$ のグラフは下に凸の放物線であり、軸は直線 $x = 0$ である。 ここで、$2 < \sqrt{6} < 3$ より、

$$ a = \frac{2 - 2\sqrt{6}}{5} < \frac{2 - 2 \cdot 2}{5} < 0 $$

$$ b = \frac{2 + 2\sqrt{6}}{5} > \frac{2 + 2 \cdot 2}{5} > 0 $$

したがって、$a < 0 < b$ となり、区間 $a \leqq x \leqq b$ は放物線の軸 $x = 0$ を含む。 ゆえに、最小値は頂点における値 $f(0)$ となる。

$$ f(0) = -1 $$

最大値は、区間の両端における値 $f(a), f(b)$ のうち小さくない方となる。 条件より $f(a) = a, f(b) = b$ であり、$a < b$ であるから、最大値は $f(b)$ となる。

$$ f(b) = b = \frac{2 + 2\sqrt{6}}{5} $$

**(2)**

$f(x)$ の軸は $x=0$ である。区間 $p \leqq x \leqq q$ と軸の位置関係で場合分けをする。

**(i)** $0 \leqq p < q$ の場合

区間 $p \leqq x \leqq q$ において $f(x)$ は単調増加である。 したがって、最小値は $f(p)$、最大値は $f(q)$ となる。 条件より最小値が $p$、最大値が $q$ であるから、

$$ f(p) = p \quad \text{かつ} \quad f(q) = q $$

これを満たす $p, q$ は、(1)で求めた $f(x) = x$ の解 $a, b$ である。 $p < q$ より $p = a, q = b$ となるが、$a < 0$ であるため、$0 \leqq p$ の条件を満たさず不適である。

**(ii)** $p < q \leqq 0$ の場合

区間 $p \leqq x \leqq q$ において $f(x)$ は単調減少である。 したがって、最小値は $f(q)$、最大値は $f(p)$ となる。 条件より最小値が $p$、最大値が $q$ であるから、

$$ \begin{cases} f(q) = p \\ f(p) = q \end{cases} $$

すなわち、以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} \frac{5}{4}q^2 - 1 = p \quad \cdots ① \\ \frac{5}{4}p^2 - 1 = q \quad \cdots ② \end{cases} $$

① $-$ ② より、

$$ \frac{5}{4}(q^2 - p^2) = p - q $$

$$ \frac{5}{4}(q - p)(q + p) = -(q - p) $$

$p < q$ より $q - p \neq 0$ であるから、両辺を $q - p$ で割ることができる。

$$ \frac{5}{4}(p + q) = -1 $$

$$ q = -p - \frac{4}{5} \quad \cdots ③ $$

③を②に代入して整理する。

$$ \frac{5}{4}p^2 - 1 = -p - \frac{4}{5} $$

$$ \frac{5}{4}p^2 + p - \frac{1}{5} = 0 $$

$$ 25p^2 + 20p - 4 = 0 $$

解の公式より $p$ を求める。

$$ p = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 25 \cdot (-4)}}{25} = \frac{-10 \pm 10\sqrt{2}}{25} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{5} $$

ここで、③より $p = \frac{-2 + 2\sqrt{2}}{5}$ のとき、

$$ q = - \frac{-2 + 2\sqrt{2}}{5} - \frac{4}{5} = \frac{-2 - 2\sqrt{2}}{5} $$

となり、$p > q$ となるため不適である。 また、$p = \frac{-2 - 2\sqrt{2}}{5}$ のとき、

$$ q = - \frac{-2 - 2\sqrt{2}}{5} - \frac{4}{5} = \frac{-2 + 2\sqrt{2}}{5} $$

となる。しかし、$\sqrt{2} > 1$ より $q = \frac{-2 + 2\sqrt{2}}{5} > 0$ となり、$q \leqq 0$ の条件を満たさず不適である。 以上より、この場合を満たす実数 $p, q$ の組は存在しない。

**(iii)** $p < 0 < q$ の場合

区間 $p \leqq x \leqq q$ は軸 $x=0$ を含むため、最小値は頂点における値 $f(0) = -1$ である。 条件より最小値が $p$ であるから、

$$ p = -1 $$

このとき、左端における値は $f(p) = f(-1) = \frac{5}{4} \cdot (-1)^2 - 1 = \frac{1}{4}$ である。 最大値は $f(p)$ と $f(q)$ のうち小さくない方であり、これが条件より $q$ に一致する。 ここで、最大値をとる場所によってさらに2つの場合に分かれる。

**(ア)** $f(p) \geqq f(q)$ の場合 最大値は $f(p) = \frac{1}{4}$ であり、これが $q$ となる。

$$ q = \frac{1}{4} $$

このとき、$f(q) = f\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 - 1 = \frac{5}{64} - 1 = -\frac{59}{64}$ となる。 $f(p) = \frac{1}{4} > f(q)$ を満たし、また $p < 0 < q$ も満たす。 よって、$(p, q) = \left(-1, \frac{1}{4}\right)$ は適する。

**(イ)** $f(p) < f(q)$ の場合 最大値は $f(q)$ であり、これが $q$ となるため $f(q) = q$ を満たす。 (1)の計算より、$f(x)=x$ の解は $x = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{5}$ である。 $q > 0$ より、

$$ q = \frac{2 + 2\sqrt{6}}{5} $$

このとき、$f(q) = q = \frac{2 + 2\sqrt{6}}{5}$ である。 $\sqrt{6} > 2$ より $f(q) > \frac{6}{5} > \frac{1}{4} = f(p)$ となり、$f(p) < f(q)$ を満たす。 また $p < 0 < q$ も満たす。 よって、$(p, q) = \left(-1, \frac{2 + 2\sqrt{6}}{5}\right)$ も適する。

以上 **(i)**, **(ii)**, **(iii)** より、求める組は2つ存在する。

解説

定義域の端点が未知数となっている2次関数の最大値・最小値問題である。放物線の軸が定義域に対してどこに位置するかで場合分けを行う定石に従う。

(2)では、最大値・最小値の条件から連立方程式を立てて解くことになるが、求まった解が最初に設定した場合分けの条件（定義域の条件）を満たすかどうかの確認を怠ってはならない。特に **(ii)** の場合は一見すると解になりそうな数値が出てくるが、大小関係の条件によって除外される。 また **(iii)** のように軸を跨ぐ区間では、最小値は頂点で確定するが、最大値が区間の左右どちらの端点でとるか分からないため、さらに場合分けが発生することに注意が必要である。

答え

**(1)**

最小値: $-1$

最大値: $\frac{2 + 2\sqrt{6}}{5}$

**(2)**

$(p, q) = \left(-1, \frac{1}{4}\right)$

$(p, q) = \left(-1, \frac{2 + 2\sqrt{6}}{5}\right)$