解説

方針・初手

文字を置き換えて式を簡略化する。条件式 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ から、$\frac{x^2}{a^2}$ と $\frac{y^2}{b^2}$ をそれぞれ新しい変数でおくか、楕円のパラメータ表示（三角関数を用いた媒介変数表示）を用いると見通しがよくなる。

解法1

$\frac{x^2}{a^2} = X$, $\frac{y^2}{b^2} = Y$ とおく。$x, y$ は実数であるから、$X \geqq 0$, $Y \geqq 0$ である。

条件式 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ より、

$$ X + Y = 1 $$

が成り立つ。これより $Y = 1 - X$ であり、$Y \geqq 0$ とあわせて $1 - X \geqq 0$、すなわち $X \leqq 1$ となる。

したがって、$X$ のとりうる値の範囲は

$$ 0 \leqq X \leqq 1 $$

である。

このとき、$z$ は

$$ \begin{aligned} z &= \left(\frac{x}{a}\right)^4 + \left(\frac{y}{b}\right)^4 \\ &= X^2 + Y^2 \\ &= X^2 + (1 - X)^2 \\ &= 2X^2 - 2X + 1 \\ &= 2\left(X - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} \end{aligned} $$

と表せる。

$0 \leqq X \leqq 1$ の範囲において、2次関数 $z = 2\left(X - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}$ は、 $X = \frac{1}{2}$ のとき、最小値 $\frac{1}{2}$ をとり、 $X = 0$ または $X = 1$ のとき、最大値 $1$ をとる。

よって、$z$ のとりうる値の範囲は

$$ \frac{1}{2} \leqq z \leqq 1 $$

である。

解法2

実数 $x, y$ は $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ を満たすので、実数 $\theta$ （$0 \leqq \theta < 2\pi$）を用いて

$$ \frac{x}{a} = \cos \theta, \quad \frac{y}{b} = \sin \theta $$

と媒介変数表示できる。

このとき、$z$ は

$$ \begin{aligned} z &= \left(\frac{x}{a}\right)^4 + \left(\frac{y}{b}\right)^4 \\ &= \cos^4 \theta + \sin^4 \theta \\ &= (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)^2 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta \\ &= 1^2 - \frac{1}{2} (2\sin \theta \cos \theta)^2 \\ &= 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2\theta \end{aligned} $$

と変形できる。

ここで、実数 $\theta$ に対して $-1 \leqq \sin 2\theta \leqq 1$ であるから、

$$ 0 \leqq \sin^2 2\theta \leqq 1 $$

である。

これより、

$$ \begin{aligned} 0 \geqq -\frac{1}{2} \sin^2 2\theta &\geqq -\frac{1}{2} \\ 1 \geqq 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2\theta &\geqq \frac{1}{2} \end{aligned} $$

が成り立つ。

よって、$z$ のとりうる値の範囲は

$$ \frac{1}{2} \leqq z \leqq 1 $$

である。

解説

条件式が平方の和であることから、2つの代表的なアプローチが考えられる。1つは変数を丸ごと置換して2次関数の最大・最小問題に帰着させる方法（解法1）、もう1つは三角関数を用いて1変数にまとめる方法（解法2）である。どちらの解法を選択しても計算量は少なく、確実に完答したい基本問題である。解法1における変数のとりうる値の範囲（$X \geqq 0, Y \geqq 0$ から生じる定義域の制限）の確認を忘れないように注意が必要である。

答え

②: $\frac{1}{2}$

③: $1$