解説

方針・初手

与えられた関数 $Q$ は、$x, y$ についての2次式である。このような2変数関数の最大・最小問題では、一方の文字について整理し、平方完成を行って $( \ )^2 \geqq 0$ の性質を利用する方針が基本となる。また、実数解をもつ条件として判別式を利用する解法も有効である。

解法1

関数 $Q$ を $x$ について整理し、平方完成を行う。

$$ \begin{aligned} Q &= x^2 - 8xy + 17y^2 + 6x - 30y + 10 \\ &= x^2 + 2(3 - 4y)x + 17y^2 - 30y + 10 \\ &= \{x + (3 - 4y)\}^2 - (3 - 4y)^2 + 17y^2 - 30y + 10 \\ &= (x - 4y + 3)^2 - (16y^2 - 24y + 9) + 17y^2 - 30y + 10 \\ &= (x - 4y + 3)^2 + y^2 - 6y + 1 \\ &= (x - 4y + 3)^2 + (y - 3)^2 - 9 + 1 \\ &= (x - 4y + 3)^2 + (y - 3)^2 - 8 \end{aligned} $$

$x, y$ は実数であるから、$(x - 4y + 3)^2 \geqq 0$ および $(y - 3)^2 \geqq 0$ が成り立つ。 したがって、$Q$ が最小となるのは、以下の条件が同時に成り立つときである。

$$ \begin{cases} x - 4y + 3 = 0 \\ y - 3 = 0 \end{cases} $$

第2式より $y = 3$ である。 これを第1式に代入すると、

$$ \begin{aligned} x - 4 \cdot 3 + 3 &= 0 \\ x - 9 &= 0 \\ x &= 9 \end{aligned} $$

このとき、$Q$ の最小値は $-8$ となる。

解法2

$Q = x^2 - 8xy + 17y^2 + 6x - 30y + 10$ を $x$ についての2次方程式とみなし、実数 $x$ が存在する条件から $Q$ のとり得る値の範囲を求める。

$$ x^2 + 2(3 - 4y)x + 17y^2 - 30y + 10 - Q = 0 $$

$x$ は実数であるから、この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D \geqq 0$ が成り立つ。

$$ \begin{aligned} \frac{D}{4} &= (3 - 4y)^2 - (17y^2 - 30y + 10 - Q) \geqq 0 \\ &16y^2 - 24y + 9 - 17y^2 + 30y - 10 + Q \geqq 0 \\ &-y^2 + 6y - 1 + Q \geqq 0 \\ &y^2 - 6y + 1 - Q \leqq 0 \end{aligned} $$

左辺を $y$ について平方完成する。

$$ \begin{aligned} (y - 3)^2 - 9 + 1 - Q &\leqq 0 \\ (y - 3)^2 - Q - 8 &\leqq 0 \\ (y - 3)^2 &\leqq Q + 8 \end{aligned} $$

$y$ は実数であるから、$(y - 3)^2 \geqq 0$ が成り立つ。 したがって、

$$ \begin{aligned} 0 &\leqq Q + 8 \\ Q &\geqq -8 \end{aligned} $$

となり、$Q$ の最小値は $-8$ であることがわかる。 等号が成立するのは $(y - 3)^2 = 0$、すなわち $y = 3$ のときである。 このとき、もとの $x$ の2次方程式に $y=3, Q=-8$ を代入すると次のようになる。

$$ \begin{aligned} x^2 + 2(3 - 12)x + 17 \cdot 9 - 30 \cdot 3 + 10 - (-8) &= 0 \\ x^2 - 18x + 153 - 90 + 10 + 8 &= 0 \\ x^2 - 18x + 81 &= 0 \\ (x - 9)^2 &= 0 \end{aligned} $$

よって、$x = 9$ となる。

解説

2つの実数変数を含む2次式の最大・最小を求める典型的な問題である。 解法1のように、一方の文字について平方完成を行い、さらに残りの文字について平方完成を繰り返すことで、$A^2 + B^2 + C$ の形（$A, B$ は実数の式、$C$ は定数）を作り出す手法が最も標準的である。このとき、$A = 0$ かつ $B = 0$ を満たす実数 $x, y$ が存在すれば、そのときに最小値 $C$ をとる。 解法2のように、方程式が実数解をもつ条件（判別式 $D \geqq 0$）を利用して取り得る値の範囲を絞り込む手法（逆像法）も、応用範囲が広く重要である。

答え

$x = 9, y = 3$ のとき、最小値 $-8$