解説

方針・初手

与えられた通過点の条件を用いて、係数 $b, c$ を $a$ の式で表す。これにより、$f(x)$ の最小値を $a$ だけの関数として表すことができる。また、$f(0) > 0$ の条件と、二次関数が最小値を持つための条件から、$a$ の取りうる値の範囲を定めておく。最後に、得られた最小値の式（$a$ の関数）の最大値を相加平均と相乗平均の大小関係などを利用して求める。

解法1

関数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ のグラフが点 $(1, 1)$ および $(3, 5)$ を通ることから、以下の連立方程式が成り立つ。

$$ \begin{cases} a + b + c = 1 \\ 9a + 3b + c = 5 \end{cases} $$

この2式から $c$ を消去する。辺々引くと、

$$ 8a + 2b = 4 $$

$$ b = -4a + 2 $$

これを $a + b + c = 1$ に代入して $c$ について解く。

$$ a + (-4a + 2) + c = 1 $$

$$ c = 3a - 1 $$

また、$f(0) > 0$ より $c > 0$ であるから、

$$ 3a - 1 > 0 $$

$$ a > \frac{1}{3} $$

二次関数 $f(x)$ が最小値を持つためには $a > 0$ であることが必要であるが、この条件は $a > \frac{1}{3}$ に含まれる。

次に、$f(x)$ の最小値を $m(a)$ とする。$b, c$ を $a$ で表した式を用いて $f(x)$ を平方完成する。

$$ \begin{aligned} f(x) &= ax^2 + (-4a + 2)x + 3a - 1 \\ &= a \left( x^2 + \frac{-4a + 2}{a}x \right) + 3a - 1 \\ &= a \left( x - \frac{2a - 1}{a} \right)^2 - a \left( \frac{2a - 1}{a} \right)^2 + 3a - 1 \end{aligned} $$

よって、$x = \frac{2a - 1}{a}$ のとき、最小値 $m(a)$ をとる。

$$ \begin{aligned} m(a) &= - a \cdot \frac{4a^2 - 4a + 1}{a^2} + 3a - 1 \\ &= \frac{-4a^2 + 4a - 1}{a} + \frac{3a^2 - a}{a} \\ &= \frac{-a^2 + 3a - 1}{a} \\ &= -a + 3 - \frac{1}{a} \\ &= 3 - \left( a + \frac{1}{a} \right) \end{aligned} $$

ここで、$a > \frac{1}{3} > 0$ であるから、$a > 0$ かつ $\frac{1}{a} > 0$ となる。相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$ a + \frac{1}{a} \geqq 2\sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = 2 $$

が成り立つ。したがって、

$$ m(a) = 3 - \left( a + \frac{1}{a} \right) \leqq 3 - 2 = 1 $$

等号が成立するのは、$a = \frac{1}{a}$ のときである。$a > 0$ より、

$$ a^2 = 1 \implies a = 1 $$

$a = 1$ は $a > \frac{1}{3}$ を満たす。

このとき、$m(a)$ は最大値 $1$ をとる。

対応する $b, c$ の値は、

$$ b = -4 \cdot 1 + 2 = -2 $$

$$ c = 3 \cdot 1 - 1 = 2 $$

解説

複数の変数を持つ関数の最大・最小問題において、条件式を用いて変数を減らし、1変数の問題に帰着させるのが基本の定石である。本問では通過点の条件から $b, c$ が $a$ の1次式で表せるため、変数の消去は容易である。

得られた最小値の式が $a$ と $\frac{1}{a}$ の和の形を含むため、相加平均と相乗平均の大小関係を用いることで簡潔に最大値を求めることができる。微分を用いて増減を調べることも可能であるが、式変形の形から相加・相乗平均に気づけるようにしておきたい。また、$f(0) > 0$ から生じる $a$ の定義域（$a > \frac{1}{3}$）の確認、および相加・相乗平均の等号成立条件を満たすことの確認を怠らないよう注意が必要である。

答え

$a = 1, b = -2, c = 2$