解説

方針・初手

与えられた2次関数 $f(x)$ を平方完成し、放物線の軸を求める。 定義域 $a \leqq x \leqq a+3$ は区間の幅が $3$、区間の中央が $x = a + \frac{3}{2}$ である。 $a$ の値によって軸の位置が変わるため、最大値は区間の中央と軸の位置関係、最小値は区間の両端と軸の位置関係によって場合分けを行う。

解法1

$f(x) = x^2 + 2ax - 3$ を平方完成する。

$$ f(x) = (x+a)^2 - a^2 - 3 $$

これより、関数 $y = f(x)$ のグラフは下に凸の放物線であり、軸は直線 $x = -a$、頂点は $(-a, -a^2 - 3)$ である。 また、定義域 $a \leqq x \leqq a+3$ の区間の中央は $x = \frac{a + (a+3)}{2} = a + \frac{3}{2}$ である。

(1) 最大値 $M(a)$ は、軸 $x = -a$ と区間の中央 $x = a + \frac{3}{2}$ の位置関係で場合分けを行う。

**(i)** 軸が区間の中央にあるか、中央より左にある場合 $-a \leqq a + \frac{3}{2}$、すなわち $a \geqq -\frac{3}{4}$ のとき、放物線の対称性から $x = a+3$ のとき最大となる。

$$ M(a) = f(a+3) = (a+3)^2 + 2a(a+3) - 3 = 3a^2 + 12a + 6 $$

**(ii)** 軸が区間の中央より右にある場合 $-a > a + \frac{3}{2}$、すなわち $a < -\frac{3}{4}$ のとき、放物線の対称性から $x = a$ のとき最大となる。

$$ M(a) = f(a) = a^2 + 2a^2 - 3 = 3a^2 - 3 $$

以上より、$M(a)$ は次のように表される。

$$ M(a) = \begin{cases} 3a^2 + 12a + 6 & (a \geqq -\frac{3}{4} \text{ のとき}) \\ 3a^2 - 3 & (a < -\frac{3}{4} \text{ のとき}) \end{cases} $$

(2) 最小値 $m(a)$ は、軸 $x = -a$ が定義域の左外、内、右外のいずれにあるかで場合分けを行う。

**(i)** 軸が定義域の左外にある場合 $-a < a$、すなわち $a > 0$ のとき、区間の左端 $x = a$ で最小となる。

$$ m(a) = f(a) = 3a^2 - 3 $$

**(ii)** 軸が定義域内にある場合 $a \leqq -a \leqq a+3$、すなわち $-\frac{3}{2} \leqq a \leqq 0$ のとき、頂点で最小となる。

$$ m(a) = f(-a) = -a^2 - 3 $$

**(iii)** 軸が定義域の右外にある場合 $-a > a+3$、すなわち $a < -\frac{3}{2}$ のとき、区間の右端 $x = a+3$ で最小となる。

$$ m(a) = f(a+3) = 3a^2 + 12a + 6 $$

以上より、$m(a)$ は次のように表される。

$$ m(a) = \begin{cases} 3a^2 - 3 & (a > 0 \text{ のとき}) \\ -a^2 - 3 & (-\frac{3}{2} \leqq a \leqq 0 \text{ のとき}) \\ 3a^2 + 12a + 6 & (a < -\frac{3}{2} \text{ のとき}) \end{cases} $$

(3) (2)で求めた $m(a)$ について、各区間でのとり得る値の範囲を調べる。

**(i)** $a > 0$ のとき

$$ m(a) = 3a^2 - 3 $$

$a > 0$ より $m(a) > -3$ である。

**(ii)** $-\frac{3}{2} \leqq a \leqq 0$ のとき

$$ m(a) = -a^2 - 3 $$

これは $a = 0$ のとき最大値 $-3$、$a = -\frac{3}{2}$ のとき最小値 $-\frac{21}{4}$ をとる。 よって、$-\frac{21}{4} \leqq m(a) \leqq -3$ である。

**(iii)** $a < -\frac{3}{2}$ のとき

$$ m(a) = 3a^2 + 12a + 6 = 3(a+2)^2 - 6 $$

関数 $y = m(a)$ のグラフは $a = -2$ を軸とする下に凸の放物線である。 $a = -2$ は区間 $a < -\frac{3}{2}$ に含まれるため、$m(a)$ は $a = -2$ のとき最小値 $-6$ をとる。 また、$a = -\frac{3}{2}$ のとき $m(-\frac{3}{2}) = -\frac{21}{4}$ であるから、$m(a) \geqq -6$ である。

**(i)**、**(ii)**、**(iii)** の結果から、すべての実数 $a$ における $m(a)$ の最小値の候補は、それぞれの区間から得られる値や極限を比較して $-6$ であることが分かる。

解説

2次関数の最大値・最小値について、定義域と軸がともにパラメータ $a$ に依存して動く典型的な問題である。 (1) 最大値の考察では、定義域の中央と軸の相対的な位置関係に注目する。本問では区間の幅が定数 $3$ であるため、中央の位置は $a + \frac{3}{2}$ と容易に求まる。 (2) 最小値の考察では、定義域の両端と軸の大小関係で3通りに場合分けする。等号はどちらの区間に含めてもよいが、漏れや重複が矛盾を生じないように注意する。 (3) (2)で求めた関数 $m(a)$ に対して、さらに最小値を求める。各区間において $m(a)$ をグラフ化し、頂点や端点が範囲に含まれるかを確認することで確実に答えにたどり着ける。

答え

(1) $a \geqq -\frac{3}{4}$ のとき $M(a) = 3a^2 + 12a + 6$

$a < -\frac{3}{4}$ のとき $M(a) = 3a^2 - 3$

(2) $a > 0$ のとき $m(a) = 3a^2 - 3$

$-\frac{3}{2} \leqq a \leqq 0$ のとき $m(a) = -a^2 - 3$

$a < -\frac{3}{2}$ のとき $m(a) = 3a^2 + 12a + 6$

(3) $-6$