解説

方針・初手

2つの放物線 $C_1, C_2$ の交点を求めるため、式を連立して $x$ についての2次方程式を導く。交点の $y$ 座標が正となるための $x$ の条件を求め、導出された2次方程式がその範囲内で異なる2つの実数解を持つような定数 $a$ の条件を求める。解の配置問題として処理する方法と、定数分離を用いてグラフの共有点として視覚的に捉える方法がある。

解法1

$C_1: y = 2 - x^2$ と $C_2: y = x^2 - 4x + a$ の交点の $x$ 座標は、これらを連立させた方程式

$$ 2 - x^2 = x^2 - 4x + a $$

$$ 2x^2 - 4x + a - 2 = 0 \quad \cdots \text{①} $$

の実数解である。 交点の $y$ 座標が $y > 0$ となる条件は、$C_1$ 上の点として考えると

$$ 2 - x^2 > 0 $$

$$ x^2 < 2 $$

$$ -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} $$

である。 したがって、条件を満たすためには、2次方程式①が $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ の範囲に異なる2つの実数解を持てばよい。

$f(x) = 2x^2 - 4x + a - 2$ とおくと、

$$ f(x) = 2(x - 1)^2 + a - 4 $$

であるから、放物線 $y = f(x)$ は下に凸であり、軸は直線 $x = 1$ である。 方程式 $f(x) = 0$ が $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ に異なる2つの実数解を持つ条件は、放物線 $y = f(x)$ と $x$ 軸の交点がこの区間内に2つあることである。 軸 $x = 1$ は $-\sqrt{2} < 1 < \sqrt{2}$ を満たして区間内にあるため、以下の2つの条件を満たすことが必要十分である。

**(i)** 判別式を $D$ とすると、$D > 0$ である。

$$ \frac{D}{4} = (-2)^2 - 2(a - 2) = 4 - 2a + 4 = 8 - 2a $$

$8 - 2a > 0$ より、

$$ a < 4 $$

**(ii)** 区間の端点において $f(x) > 0$ となる。すなわち $f(\sqrt{2}) > 0$ かつ $f(-\sqrt{2}) > 0$ である。

$$ f(\sqrt{2}) = 2(\sqrt{2})^2 - 4\sqrt{2} + a - 2 = a + 2 - 4\sqrt{2} $$

$a + 2 - 4\sqrt{2} > 0$ より、

$$ a > 4\sqrt{2} - 2 $$

また、

$$ f(-\sqrt{2}) = 2(-\sqrt{2})^2 - 4(-\sqrt{2}) + a - 2 = a + 2 + 4\sqrt{2} $$

$a + 2 + 4\sqrt{2} > 0$ より、

$$ a > -4\sqrt{2} - 2 $$

これらをともに満たす範囲は、

$$ a > 4\sqrt{2} - 2 $$

以上 **(i)**, **(ii)** より、求める $a$ の範囲は

$$ 4\sqrt{2} - 2 < a < 4 $$

ここで、$4\sqrt{2} - 2 = \sqrt{32} - 2$ であり、$5 < \sqrt{32} < 6$ より $3 < 4\sqrt{2} - 2 < 4$ となるため、この区間は存在する。

解法2

方程式①を定数 $a$ について整理し、定数分離を行う。

$$ 2x^2 - 4x - 2 = -a $$

$g(x) = 2x^2 - 4x - 2$ とおくと、条件を満たす $a$ の範囲は、$x$ の変域 $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ において、放物線 $y = g(x)$ と直線 $y = -a$ が異なる2つの共有点を持つような $-a$ の範囲に等しい。

$g(x)$ を平方完成すると、

$$ g(x) = 2(x - 1)^2 - 4 $$

となる。したがって、放物線 $y = g(x)$ は下に凸であり、頂点は $(1, -4)$ である。 区間の端点における $y$ の値は、

$$ g(\sqrt{2}) = 2(\sqrt{2})^2 - 4\sqrt{2} - 2 = 2 - 4\sqrt{2} $$

$$ g(-\sqrt{2}) = 2(-\sqrt{2})^2 - 4(-\sqrt{2}) - 2 = 2 + 4\sqrt{2} $$

である。 区間 $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ における放物線 $y = g(x)$ のグラフは、頂点 $(1, -4)$ を含み、$x = \sqrt{2}$ の側で低い端点を持つ。 直線 $y = -a$ がこのグラフと異なる2点で交わるための条件は、直線の高さ $-a$ が頂点の $y$ 座標より大きく、右側の端点 $x = \sqrt{2}$ における $y$ 座標より小さいことである。

したがって、

$$ -4 < -a < 2 - 4\sqrt{2} $$

各辺に $-1$ を掛けて不等号の向きを反転させると、

$$ 4\sqrt{2} - 2 < a < 4 $$

を得る。

解説

2つの図形の交点の条件を、方程式の実数解の条件に言い換える典型的な問題である。交点の $y$ 座標についての条件を、扱いやすい $x$ の条件（$-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$）に変換できるかが最大のポイントとなる。 その後は、2次方程式の解の配置問題（解法1）として処理するか、定数分離（解法2）によってグラフの共有点として視覚化するかの2通りのアプローチが考えられる。定数分離を用いると、放物線の頂点と端点の高さを比べるだけで視覚的に条件が求まるため、計算ミスを防ぎやすく見通しが良い。

答え

$$ 4\sqrt{2} - 2 < a < 4 $$