解説

方針・初手

放物線が通る2点の $y$ 座標が等しいことに着目し、放物線の対称性を利用して軸の方程式を先に求める方法と、与えられた2点の座標を直接方程式に代入して連立方程式を解く方法の2つが考えられる。

解法1

放物線 $C$ は $y$ 座標が等しい2点 $(4, 3)$ と $(-2, 3)$ を通る。 放物線は軸に関して対称であるから、$C$ の軸はこれら2点の $x$ 座標の中点を通る $y$ 軸に平行な直線である。 したがって、軸の方程式は、

$$ x = \frac{4 + (-2)}{2} = 1 $$

である。

一方、$f(x) = x^2 + 2x - 8$ を平方完成すると、

$$ f(x) = (x+1)^2 - 9 $$

となる。放物線 $C$ の方程式は $y = f(x+a) + b$ であるから、これを変形すると、

$$ y = (x+a+1)^2 - 9 + b $$

となる。これより、$C$ の軸の方程式は $x = -a - 1$ と表せる。

先ほど求めた軸の方程式 $x = 1$ と比較して、

$$ -a - 1 = 1 $$

$$ a = -2 $$

となる。

このとき、$C$ の方程式は $y = (x-1)^2 - 9 + b$ となる。 これが点 $(4, 3)$ を通るので、$x=4, y=3$ を代入して、

$$ 3 = (4-1)^2 - 9 + b $$

$$ 3 = 9 - 9 + b $$

$$ b = 3 $$

となる。

解法2

放物線 $C$ の方程式 $y = f(x+a) + b$ に、与えられた2点 $(4, 3), (-2, 3)$ の座標をそれぞれ代入して連立方程式を立てる。

$C$ が点 $(4, 3)$ を通るから、

$$ 3 = f(4+a) + b $$

$$ 3 = (4+a)^2 + 2(4+a) - 8 + b $$

$$ 3 = a^2 + 8a + 16 + 8 + 2a - 8 + b $$

$$ a^2 + 10a + b + 13 = 0 \quad \cdots \text{①} $$

$C$ が点 $(-2, 3)$ を通るから、

$$ 3 = f(-2+a) + b $$

$$ 3 = (-2+a)^2 + 2(-2+a) - 8 + b $$

$$ 3 = a^2 - 4a + 4 - 4 + 2a - 8 + b $$

$$ a^2 - 2a + b - 11 = 0 \quad \cdots \text{②} $$

① $-$ ② より、

$$ 12a + 24 = 0 $$

$$ a = -2 $$

これを②に代入して、

$$ (-2)^2 - 2(-2) + b - 11 = 0 $$

$$ 4 + 4 + b - 11 = 0 $$

$$ b = 3 $$

$a = -2, b = 3$ のとき、放物線 $C$ の方程式は、

$$ y = f(x-2) + 3 $$

$$ y = (x-2)^2 + 2(x-2) - 8 + 3 $$

$$ y = x^2 - 4x + 4 + 2x - 4 - 5 $$

$$ y = x^2 - 2x - 5 $$

これを平方完成すると、

$$ y = (x-1)^2 - 6 $$

となるので、放物線 $C$ の軸の方程式は $x = 1$ である。

解説

与えられた2点の $y$ 座標が共に $3$ であることに気づけるかがポイントである。放物線が $x$ 軸に平行な直線と交わる2点を持つ場合、その2点の中点の $x$ 座標が放物線の軸と一致するという「放物線の対称性」を利用することで、解法1のように非常に簡潔に軸の方程式と定数 $a$ を求めることができる。

解法2のように、通る2点の座標を直接代入して連立方程式を立てる計算主体の方法でも確実に答えを出すことができる。$a$ と $b$ の連立方程式は2次式を含むが、$b$ と $a^2$ の係数が等しいため、2式の差をとることで容易に1次方程式に帰着できる。

答え

軸の方程式: $x = 1$

$a = -2$

$b = 3$