解説

方針・初手

与えられた2次関数のグラフに対して、指定された移動（平行移動・対称移動）を順番に適用し、最終的な式を求める。得られた式と $y = x^2$ の係数を比較して $a, b$ の値を決定する。 他にも、グラフの頂点の座標に注目して移動を追跡する方法や、最終的な結果である $y = x^2$ から逆の移動を行って元の関数を逆算する方法も有効である。

解法1

関数式を順番に変形していく。

元の2次関数は $y = x^2 + ax + b$ である。

**(i)** $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動する。 $y$ を $y - 2$ に置き換えて、

$$ y - 2 = x^2 + ax + b $$

$$ y = x^2 + ax + b + 2 $$

**(ii)** $y$ 軸に関して対称移動する。 $x$ を $-x$ に置き換えて、

$$ y = (-x)^2 + a(-x) + b + 2 $$

$$ y = x^2 - ax + b + 2 $$

**(iii)** $x$ 軸方向に $-3$ 平行移動する。 $x$ を $x - (-3) = x + 3$ に置き換えて、

$$ y = (x + 3)^2 - a(x + 3) + b + 2 $$

展開して整理すると、

$$ y = x^2 + 6x + 9 - ax - 3a + b + 2 $$

$$ y = x^2 + (6 - a)x - 3a + b + 11 $$

このグラフが $y = x^2$ のグラフと一致するので、各次数の係数を比較して以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} 6 - a = 0 \\ -3a + b + 11 = 0 \end{cases} $$

第1式より $a = 6$ である。 これを第2式に代入して、

$$ -18 + b + 11 = 0 $$

$$ b = 7 $$

解法2

2次関数の頂点の座標に注目して移動を追跡する。

元の2次関数 $y = x^2 + ax + b$ を平方完成すると、

$$ y = \left( x + \frac{a}{2} \right)^2 - \frac{a^2}{4} + b $$

よって、元の頂点の座標は $\left( -\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} + b \right)$ である。

この頂点の移動を順に追う。

**(i)** $y$ 軸方向に $2$ 平行移動すると、頂点は

$$ \left( -\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} + b + 2 \right) $$

**(ii)** $y$ 軸に関して対称移動すると、$x$ 座標の符号が反転するので、頂点は

$$ \left( \frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} + b + 2 \right) $$

**(iii)** $x$ 軸方向に $-3$ 平行移動すると、頂点は

$$ \left( \frac{a}{2} - 3, -\frac{a^2}{4} + b + 2 \right) $$

移動後のグラフは $y = x^2$ と一致するため、その頂点は $(0, 0)$ である。 したがって、それぞれの座標を比較して以下の式が成り立つ。

$$ \begin{cases} \frac{a}{2} - 3 = 0 \\ -\frac{a^2}{4} + b + 2 = 0 \end{cases} $$

第1式より $a = 6$ である。 これを第2式に代入して、

$$ -\frac{36}{4} + b + 2 = 0 $$

$$ -9 + b + 2 = 0 $$

$$ b = 7 $$

解法3

最終的な結果 $y = x^2$ から出発し、問題の操作とは逆の順番で逆の操作を行い、元の関数を求める。

**(i)** 「$x$ 軸方向に $-3$ 平行移動」の逆操作として、「$x$ 軸方向に $3$ 平行移動」を行う。 $x$ を $x - 3$ に置き換えて、

$$ y = (x - 3)^2 $$

$$ y = x^2 - 6x + 9 $$

**(ii)** 「$y$ 軸に関して対称移動」の逆操作として、再び「$y$ 軸に関して対称移動」を行う。 $x$ を $-x$ に置き換えて、

$$ y = (-x)^2 - 6(-x) + 9 $$

$$ y = x^2 + 6x + 9 $$

**(iii)** 「$y$ 軸方向に $2$ 平行移動」の逆操作として、「$y$ 軸方向に $-2$ 平行移動」を行う。 $y$ を $y - (-2) = y + 2$ に置き換えて、

$$ y + 2 = x^2 + 6x + 9 $$

$$ y = x^2 + 6x + 7 $$

これが元の関数 $y = x^2 + ax + b$ である。 各次数の係数を比較して、

$$ a = 6, \quad b = 7 $$

解説

2次関数の平行移動・対称移動に関する基本的な問題である。 関数式を直接操作する方法、頂点の移動を追跡する方法、結果から逆算する方法のいずれを用いてもスムーズに解くことができる。 式全体を操作する場合、$x$ 軸方向への $p$ の平行移動は $x$ を $x - p$ に置き換えるという基本事項を正確に適用することが重要である。また、$y$ 軸に関する対称移動では $x$ を $-x$ に置き換える。 本問のように、$x^2$ の係数が移動の前後で変化しないことが分かっている場合は、頂点の移動だけを追う解法2が計算量も少なく、ミスが起こりにくい。逆算する解法3も、論理構造を理解していれば非常に見通しが良い手法である。

答え

$a = 6, \quad b = 7$