解説

方針・初手

放物線を平行移動しても $x^2$ の係数は変化しないことに着目する。移動後の放物線の式を $y = 2x^2 + cx + d$ とおき、通る 2 点の座標を代入して $c$、$d$ の値を決定する。 その後、もとの放物線と移動後の放物線の式を連立させ、共有点の $x$ 座標を求める方程式を立てる。この方程式がただ 1 つの実数解をもつ条件を考える。

解法1

もとの放物線 $y = 2x^2 - bx + 1$ を平行移動した曲線は、$x^2$ の係数が $2$ である放物線となる。 よって、その方程式を次のように表すことができる。

$$ y = 2x^2 + cx + d $$

($c$、$d$ は定数)

この放物線が 2 点 $(-1, 17)$、$(3, 5)$ を通るので、それぞれの座標を代入して以下の式を得る。

$$ 17 = 2(-1)^2 + c(-1) + d $$

$$ 5 = 2 \cdot 3^2 + c \cdot 3 + d $$

これらを整理すると、次の連立方程式になる。

$$ -c + d = 15 $$

$$ 3c + d = -13 $$

上の式から下の式を引くと、$-4c = 28$ より $c = -7$ となる。 これを $-c + d = 15$ に代入すると、$7 + d = 15$ より $d = 8$ となる。 したがって、平行移動した放物線の方程式は次のようになる。

$$ y = 2x^2 - 7x + 8 $$

次に、もとの放物線 $y = 2x^2 - bx + 1$ と、平行移動した放物線 $y = 2x^2 - 7x + 8$ の共有点について考える。 共有点の $x$ 座標は、次の方程式の実数解として与えられる。

$$ 2x^2 - bx + 1 = 2x^2 - 7x + 8 $$

両辺の $2x^2$ を消去して整理すると、次のようになる。

$$ (7 - b)x = 7 $$

2 つの放物線の共有点が 1 個となるのは、この $x$ についての方程式がただ 1 つの実数解をもつときである。 もし $7 - b = 0$ (すなわち $b = 7$) のとき、方程式は $0 \cdot x = 7$ となり実数解をもたないため、共有点は 0 個となる。 したがって、ただ 1 つの解をもつための条件は $x$ の係数が $0$ でないことである。

$$ 7 - b \neq 0 $$

よって、求める $b$ の条件は次のようになる。

$$ b \neq 7 $$

解説

放物線の平行移動に関する基本性質と、方程式の解の個数を問う融合問題である。 放物線 $y = ax^2 + bx + c$ を平行移動しても、$x^2$ の係数 $a$ は変わらない。これを利用して、移動後の放物線の式を $y = 2x^2 + cx + d$ の形でおくことができるかが第一のポイントである。頂点の座標を $(p, q)$ とおいて $y = 2(x - p)^2 + q$ と設定しても解けるが、展開する手間がかかるため本解法のように設定する方が簡潔である。

第二のポイントは、共有点の個数を求める際の方程式の処理である。2次曲線どうしの交点なので一見すると2次方程式になりそうだが、今回は $x^2$ の係数が等しいため $x^2$ の項が打ち消し合い、$x$ についての1次以下の直線的な方程式に帰着する。 ここで機械的に「共有点が1個だから判別式 $D = 0$」と考えてしまうと誤りとなる。「$Ax = B$ の形の方程式がただ1つの解をもつ条件は $A \neq 0$ である」という、文字係数を含む1次方程式の基本に立ち返って処理することが重要である。

答え

$b \neq 7$