解説

方針・初手

2次関数 $y = f(x)$ のグラフが水平な直線 $y = k$ と交わる点は最大で2個である。 条件より、$f(1), f(2), f(3), f(4)$ の値はすべて $1$ または $-1$ をとるが、同じ値をとることができるのは最大2個までである。 したがって、$x = 1, 2, 3, 4$ のうち、2つにおける関数値が $1$ であり、残りの2つにおける関数値が $-1$ となる。 さらに、2次関数のグラフは軸に関して対称であるから、関数値が等しくなる2つの $x$ 座標の和（あるいは平均）は、組ごとに等しくなることに着目して条件を絞り込む。

解法1

2次関数 $f(x)$ の値が $1$ になる $x$ の値（2つ）と、$-1$ になる $x$ の値（2つ）の組分けを考える。 2次関数のグラフは軸に関して対称であるため、同じ値をとる2つの $x$ の和は、どの組においても軸の $x$ 座標の2倍となり、互いに等しくならなければならない。

集合 $\{1, 2, 3, 4\}$ を2個ずつの2組に分ける方法は以下の3通りである。

**(ア)** $\{1, 2\}$ と $\{3, 4\}$ に分ける場合 和はそれぞれ $1+2=3$ と $3+4=7$ となり、一致しないため不適。

**(イ)** $\{1, 3\}$ と $\{2, 4\}$ に分ける場合 和はそれぞれ $1+3=4$ と $2+4=6$ となり、一致しないため不適。

**(ウ)** $\{1, 4\}$ と $\{2, 3\}$ に分ける場合 和はそれぞれ $1+4=5$ と $2+3=5$ となり、一致する。

したがって、$f(1) = f(4)$ かつ $f(2) = f(3)$ が成り立つことがわかる。 このとき、軸の方程式は $x = \frac{5}{2}$ であるため、$f(x)$ は定数 $a \neq 0$ および $q$ を用いて次のように表せる。

$$ f(x) = a \left( x - \frac{5}{2} \right)^2 + q $$

関数値の組み合わせとして、以下の2つの場合が考えられる。

**(i)** $f(1) = f(4) = 1$ かつ $f(2) = f(3) = -1$ のとき

$f(1) = 1$ および $f(2) = -1$ を代入して連立方程式を立てる。

$$ \begin{cases} a \left( 1 - \frac{5}{2} \right)^2 + q = 1 \\ a \left( 2 - \frac{5}{2} \right)^2 + q = -1 \end{cases} $$

これを整理すると以下のようになる。

$$ \begin{cases} \frac{9}{4}a + q = 1 \\ \frac{1}{4}a + q = -1 \end{cases} $$

上の式から下の式を引くと、$\frac{8}{4}a = 2$ より $a = 1$ を得る。 これを下の式に代入して $q$ を求めると、$q = -1 - \frac{1}{4} = -\frac{5}{4}$ となる。 $a \neq 0$ を満たしており、このときの $f(x)$ は以下のように求まる。

$$ f(x) = \left( x - \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{5}{4} = x^2 - 5x + 5 $$

**(ii)** $f(1) = f(4) = -1$ かつ $f(2) = f(3) = 1$ のとき

同様に、$f(1) = -1$ および $f(2) = 1$ を代入して連立方程式を立てる。

$$ \begin{cases} \frac{9}{4}a + q = -1 \\ \frac{1}{4}a + q = 1 \end{cases} $$

上の式から下の式を引くと、$\frac{8}{4}a = -2$ より $a = -1$ を得る。 これを下の式に代入して $q$ を求めると、$q = 1 - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{5}{4}$ となる。 $a \neq 0$ を満たしており、このときの $f(x)$ は以下のように求まる。

$$ f(x) = -\left( x - \frac{5}{2} \right)^2 + \frac{5}{4} = -x^2 + 5x - 5 $$

以上より、求める2次関数は求まった2つである。

解法2

解法1と同様の議論から、$f(1) = f(4)$ かつ $f(2) = f(3)$ であることがわかる。 これを利用して、因数定理（あるいは恒等式の考え方）から関数の決定を行う。

**(i)** $f(1) = f(4) = 1$ かつ $f(2) = f(3) = -1$ のとき

$f(1) = 1$ および $f(4) = 1$ より、$f(x) - 1 = 0$ という2次方程式の解が $x = 1, 4$ である。 したがって、$f(x)$ は定数 $a \neq 0$ を用いて次のように表せる。

$$ f(x) - 1 = a(x - 1)(x - 4) $$

$$ f(x) = a(x - 1)(x - 4) + 1 $$

さらに $f(2) = -1$ であることを利用して $a$ の値を求める。

$$ -1 = a(2 - 1)(2 - 4) + 1 $$

$$ -2 = -2a $$

これより $a = 1$ を得る。 式に代入して展開すると、$f(x) = (x - 1)(x - 4) + 1 = x^2 - 5x + 5$ となる。 念のため $f(3)$ を計算すると、$f(3) = 3^2 - 5 \cdot 3 + 5 = -1$ となり条件を満たす。

**(ii)** $f(1) = f(4) = -1$ かつ $f(2) = f(3) = 1$ のとき

$f(1) = -1$ および $f(4) = -1$ より、$f(x) + 1 = 0$ という2次方程式の解が $x = 1, 4$ である。 したがって、$f(x)$ は定数 $a \neq 0$ を用いて次のように表せる。

$$ f(x) + 1 = a(x - 1)(x - 4) $$

$$ f(x) = a(x - 1)(x - 4) - 1 $$

さらに $f(2) = 1$ であることを利用して $a$ の値を求める。

$$ 1 = a(2 - 1)(2 - 4) - 1 $$

$$ 2 = -2a $$

これより $a = -1$ を得る。 式に代入して展開すると、$f(x) = -(x - 1)(x - 4) - 1 = -x^2 + 5x - 5$ となる。 念のため $f(3)$ を計算すると、$f(3) = -3^2 + 5 \cdot 3 - 5 = 1$ となり条件を満たす。

以上より、求める2次関数が求まる。

解説

2次関数が同じ値をとる $x$ が複数あるとき、放物線の対称性に着目するのが定石である。 「同じ高さになる2点の $x$ 座標の和は常に一定（軸の $x$ 座標の2倍）」という性質に気づけば、4つの値をどの2組に分けるべきか一意に決定できる。 その後は頂点形式から立式する解法（解法1）でも、通る2点から式を置く解法（解法2）でもスムーズに処理できる。絶対値の条件をどう処理するかが鍵となる良問である。

答え

$f(x) = x^2 - 5x + 5$

$f(x) = -x^2 + 5x - 5$