解説

方針・初手

2次関数 $y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸の正の部分と負の部分で交点をもつための条件を考える。これは、2次方程式 $f(x) = 0$ が正の解と負の解を1つずつもつこと（異符号の解をもつこと）と同値である。

問題文に「2次関数」と明記されているため、$x^2$ の係数 $a$ は $a \neq 0$ であることが大前提となる。 アプローチとしては、グラフの凸の向き（$a$ の符号）で場合分けをして $y$ 切片 $f(0)$ の符号を調べる方法と、解と係数の関係を用いて2解の積が負になる条件を求める方法がある。

解法1

$f(x) = ax^2 + x + a^2 - a - 6$ とおく。 これが2次関数であるから、$a \neq 0$ である。 $y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸の正の部分と負の部分の両方で交点をもつための条件は、グラフの凸の向きによって以下のように場合分けされる。

**(i)** $a > 0$ のとき グラフは下に凸の放物線となる。$x$ 軸の正負の両方で交点をもつためには、$y$ 切片が負であればよい。すなわち、$f(0) < 0$ となる。

$$ f(0) = a^2 - a - 6 < 0 $$

$$ (a - 3)(a + 2) < 0 $$

$$ -2 < a < 3 $$

$a > 0$ との共通範囲を求めて、

$$ 0 < a < 3 $$

**(ii)** $a < 0$ のとき グラフは上に凸の放物線となる。$x$ 軸の正負の両方で交点をもつためには、$y$ 切片が正であればよい。すなわち、$f(0) > 0$ となる。

$$ f(0) = a^2 - a - 6 > 0 $$

$$ (a - 3)(a + 2) > 0 $$

$$ a < -2, \ 3 < a $$

$a < 0$ との共通範囲を求めて、

$$ a < -2 $$

以上 **(i)**, **(ii)** より、求める $a$ の値の範囲は

$$ a < -2, \ 0 < a < 3 $$

解法2

題意を満たすには、2次方程式 $ax^2 + x + a^2 - a - 6 = 0$ が異符号の実数解をもてばよい。 この方程式の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、2解の積は

$$ \alpha \beta = \frac{a^2 - a - 6}{a} $$

となる。異符号の解をもつ条件は $\alpha \beta < 0$ である。 なお、この条件が成り立つとき、判別式を $D$ とすると $D = 1 - 4a(a^2 - a - 6)$ となるが、$\frac{a^2 - a - 6}{a} < 0$ より $a(a^2 - a - 6) < 0$ であるため、$-4a(a^2 - a - 6) > 0$ となり、自動的に $D > 0$ を満たす。よって判別式の条件は考えなくてよい。

したがって、求める条件は

$$ \frac{a^2 - a - 6}{a} < 0 $$

2次関数であることから $a \neq 0$ であり、$a^2 > 0$ であるから、両辺に $a^2$ を掛けて分母を払うと

$$ a(a^2 - a - 6) < 0 $$

$$ a(a - 3)(a + 2) < 0 $$

この3次不等式を解くと、

$$ a < -2, \ 0 < a < 3 $$

解説

2次方程式の解の配置問題の中でも、「正の解と負の解を1つずつもつ」という条件は頻出である。 この場合、解法1のようにグラフの形状から $f(0)$ の符号を判断するか、解法2のように解と係数の関係から2解の積 $\alpha \beta < 0$ を考えるのが定石である。 いずれの解法においても、「異符号の解をもつ」という条件を課した時点で自動的に判別式 $D > 0$ が保証されるため、判別式の計算を省略できるのがポイントである。また、冒頭の「2次関数」という言葉を見落として $a=0$ の場合を考慮してしまったり、逆に $a > 0$ の場合しか考えなかったりするミスに注意したい。

答え

$a < -2$

$0 < a < 3$