解説

方針・初手

(1) 絶対値記号を含む方程式は、絶対値の中身の正負によって場合分けをして外すのが基本である。左辺が絶対値であることから右辺が $0$ 以上であるという条件を忘れないようにする。 (2) (1) と同様に絶対値の中身の正負で場合分けをして、定義域ごとに2つの放物線を描く。 (3) (2) で描いたグラフと直線 $y = kx - 2$ の位置関係を考える。直線は定点 $(0, -2)$ を通り、傾き $k$ が変化する。グラフの対称性から $k > 0$ の場合を考え、領域内の格子点（$x$ 座標も $y$ 座標も整数の点）を具体的に調べて $k$ の条件を求める。

解法1

**(1)** $a = -1, b = 0$ のとき、方程式は $$|x^2 - 1| = x$$ 左辺は絶対値であるため $0$ 以上である。したがって、$x \geqq 0$ であることが必要。

**(i)** $x^2 - 1 \geqq 0$ すなわち $x \leqq -1, \ 1 \leqq x$ のとき 絶対値記号はそのまま外れ、方程式は $$x^2 - 1 = x$$ $$x^2 - x - 1 = 0$$ これを解くと、$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ $x \leqq -1, \ 1 \leqq x$ かつ $x \geqq 0$ を満たす解は、$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ のみである。

**(ii)** $x^2 - 1 < 0$ すなわち $-1 < x < 1$ のとき 絶対値記号はマイナスをつけて外れ、方程式は $$-(x^2 - 1) = x$$ $$x^2 + x - 1 = 0$$ これを解くと、$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ $-1 < x < 1$ かつ $x \geqq 0$ を満たす解は、$x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ のみである。

以上より、求める解は $$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \ \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$$

**(2)** $a = -2, b = -1$ のとき、関数は $$f(x) = |x^2 - 2| - 1$$ 絶対値の中身の正負で場合分けをする。

**(i)** $x^2 - 2 \geqq 0$ すなわち $x \leqq -\sqrt{2}, \ \sqrt{2} \leqq x$ のとき $$f(x) = x^2 - 2 - 1 = x^2 - 3$$

**(ii)** $x^2 - 2 < 0$ すなわち $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ のとき $$f(x) = -(x^2 - 2) - 1 = -x^2 + 1$$

よって、$y = f(x)$ のグラフは、$x \leqq -\sqrt{2}, \ \sqrt{2} \leqq x$ の範囲では放物線 $y = x^2 - 3$、$ -\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ の範囲では放物線 $y = -x^2 + 1$ となる。 頂点は $(0, 1)$、グラフが切り替わる点は $(\pm\sqrt{2}, -1)$ となる連続な曲線である。

**(3)** $y = f(x)$ は $y$ 軸対称なグラフであり、直線 $y = kx - 2$ は $y$ 軸上の定点 $(0, -2)$ を通る。したがって、$k > 0$ の場合を考え、後で対称性を利用する。

$k > 0$ のとき、直線 $y = kx - 2$ と $y = f(x)$ が交わり、領域を形成する条件を求める。 直線がグラフと $x > 0$ で異なる2点で交わるための条件は、直線が点 $(\sqrt{2}, -1)$ を通るときの傾きよりも大きいことである。（直線が点 $(\sqrt{2}, -1)$ を通るとき、傾きは $\frac{-1 - (-2)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ であり、このとき共有点は $1$ 点のみで領域は面積を持たない） したがって、交わって領域を形成する条件は $$k > \frac{1}{\sqrt{2}}$$ このとき、領域 $D: f(x) \leqq y \leqq kx - 2$ は $x > 0$ の範囲にできる。

この領域 $D$ に格子点が1つもないような $k$ の条件を考える。 領域 $D$ は、$x \geqq 1$ の範囲に存在する。各 $x$ 座標における格子点を調べる。

$x = 1$ のとき、$f(1) = -1^2 + 1 = 0$ 領域 $D$ の下端は $(1, 0)$ である。領域内に $x=1$ の格子点が存在しないためには、直線 $y = kx - 2$ の $x=1$ における $y$ 座標が $0$ より小さければよい。 $$k - 2 < 0 \iff k < 2$$

$x = 2$ のとき、$f(2) = 2^2 - 3 = 1$ 領域 $D$ の下端は $(2, 1)$ である。領域内に $x=2$ の格子点が存在しないためには、直線の $x=2$ における $y$ 座標が $1$ より小さければよい。 $$2k - 2 < 1 \iff k < \frac{3}{2}$$

$x = n$ ($n \geqq 2$ の整数) のとき、$f(n) = n^2 - 3$ 領域 $D$ の下端は $(n, n^2 - 3)$ である。領域内に $x=n$ の格子点が存在しないためには、直線の $y$ 座標がこれより小さければよい。 $$nk - 2 < n^2 - 3 \iff k < n - \frac{1}{n}$$ $n \geqq 2$ において $n - \frac{1}{n}$ は単調に増加するため、$k$ にとって最も厳しい条件は $n = 2$ のときであり、$k < \frac{3}{2}$ となる。（これは $k < 2$ も満たす）

以上より、$k > 0$ の場合の求める条件は $$\frac{1}{\sqrt{2}} < k < \frac{3}{2}$$ $k < 0$ の場合は、グラフと定点の対称性から、傾きの符号を反転させた範囲となる。 （$k = 0$ のときは $y = -2$ となり、グラフの最小値 $-1$ より下にあるため交わらない） したがって、求める $k$ の範囲は $$-\frac{3}{2} < k < -\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}} < k < \frac{3}{2}$$

解説

(1) では、左辺が絶対値であることから生じる $x \geqq 0$ の条件を忘れないことが重要である。これを見落とすと、不適な負の解を答えてしまうことになる。 (2) は絶対値関数のグラフの基本である。場合分けの境界である $x = \pm\sqrt{2}$ でグラフが連続になることを確認すると計算ミスを防ぐことができる。 (3) は領域と格子点の融合問題である。定点を通る直線を回転させて視覚的に捉えるアプローチが有効である。グラフと直線が「交わる」という条件から $k$ の下限が、格子点を含まないという条件から上限が決まる。格子点の判定においては、グラフの境界上にある格子点 $(1, 0), (2, 1)$ などに注目し、直線がそれらの点を「上回らない」条件を不等式で表すことがポイントである。

答え

(1) $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \ \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

(2) 放物線 $y = x^2 - 3 \ (x \leqq -\sqrt{2}, \ \sqrt{2} \leqq x)$ と放物線 $y = -x^2 + 1 \ (-\sqrt{2} < x < \sqrt{2})$ をつなぎ合わせた曲線

(3) $-\frac{3}{2} < k < -\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}} < k < \frac{3}{2}$