解説

方針・初手

放物線 $y=x^2$ を平行移動した放物線 $C$ の方程式を、頂点の座標を文字でおいて立式する。頂点が直線 $y=2x-5$ 上にあることから、頂点の座標は $(t, 2t-5)$ のように1つの文字で表すことができる。

解法1

放物線 $C$ は $y=x^2$ を平行移動したものであるから、$x^2$ の係数は $1$ である。 頂点は直線 $y=2x-5$ 上にあるため、その $x$ 座標を $t$ とおくと、頂点の座標は $(t, 2t-5)$ と表せる。 したがって、放物線 $C$ の方程式は

$$y = (x-t)^2 + 2t - 5 \quad \cdots \text{①}$$

となる。

**(ア)**

$C$ の頂点の $x$ 座標が $-2$ であるから、$t = -2$ である。 これを①に代入すると、$C$ の方程式は

$$y = (x - (-2))^2 + 2 \cdot (-2) - 5$$

$$y = (x+2)^2 - 9$$

となる。 $C$ が $x$ 軸から切り取る部分の線分の長さは、$y=0$ としたときの $x$ の2つの値の差である。 $y=0$ とすると

$$(x+2)^2 - 9 = 0$$

$$(x+2)^2 = 9$$

$$x+2 = \pm 3$$

$$x = 1, -5$$

したがって、$x$ 軸との交点の座標は $(1, 0)$ と $(-5, 0)$ である。 よって、切り取る線分の長さは

$$1 - (-5) = 6$$

である。

**(イ)**

$C$ と $y$ 軸との交点の $y$ 座標は、①に $x=0$ を代入して得られる値である。 これを $Y$ とおくと

$$Y = (0-t)^2 + 2t - 5$$

$$Y = t^2 + 2t - 5$$

となる。 $Y$ を $t$ の2次関数とみて平方完成すると

$$Y = (t+1)^2 - 6$$

$t$ はすべての実数値をとるので、$Y$ は $t = -1$ のとき最小値 $-6$ をとる。 また、このときの $C$ の方程式は、①に $t = -1$ を代入して

$$y = (x - (-1))^2 + 2 \cdot (-1) - 5$$

$$y = (x+1)^2 - 7$$

となる。

解説

放物線の平行移動において、移動後のグラフの式を決定する基本問題である。平行移動しても $x^2$ の係数が変わらないこと、および頂点の軌跡が直線になることを利用して、式を1文字のパラメータで表現できればあとは計算するのみである。

**(ア)** で放物線が $x$ 軸から切り取る線分の長さを求める際、今回は因数分解（平方根をとる操作）が容易であったため直接解を求めた。もし解が複雑な形になる場合は、解と係数の関係を利用して解の差の2乗を計算する手法が有効である。

**(イ)** では、$y$ 切片がパラメータ $t$ の2次関数として表されるため、その最小値を求める典型的な処理となる。

答え

**(ア)**

6

**(イ)**

最小値: $-6$

方程式: $y = (x+1)^2 - 7$ （または $y = x^2 + 2x - 6$）