解説

方針・初手

放物線と直線が接する条件を立式する。放物線と直線の方程式を連立して得られる2次方程式が重解をもつこと、すなわち判別式が $0$ になることを利用するのが最も簡明である。また、微積分学の知識を用いて接線の方程式を立式し、与えられた直線と係数比較を行う方針でも解くことができる。

解法1

放物線 $y = ax^2 + bx + c$ は放物線であるから、$a \neq 0$ である。

この放物線と直線 $y = x$ が接するとき、これらを連立した2次方程式 $ax^2 + (b-1)x + c = 0$ は重解をもつ。 判別式を $D_1$ とすると、$D_1 = 0$ となるため、以下の式が成り立つ。

$$ (b-1)^2 - 4ac = 0 $$

これを変形して、

$$ (b-1)^2 = 4ac \quad \cdots \text{①} $$

同様に、放物線と直線 $y = 2x - 1$ が接する条件から、連立方程式 $ax^2 + (b-2)x + c + 1 = 0$ が重解をもつので、判別式 $D_2 = 0$ より、

$$ (b-2)^2 - 4a(c+1) = 0 $$

すなわち、

$$ (b-2)^2 = 4ac + 4a \quad \cdots \text{②} $$

さらに、放物線と直線 $y = 3x - 3$ が接する条件から、連立方程式 $ax^2 + (b-3)x + c + 3 = 0$ が重解をもつので、判別式 $D_3 = 0$ より、

$$ (b-3)^2 - 4a(c+3) = 0 $$

すなわち、

$$ (b-3)^2 = 4ac + 12a \quad \cdots \text{③} $$

これら①、②、③の連立方程式を解いて、$a, b, c$ の値を求める。

②から①を辺々引くと、

$$ (b-2)^2 - (b-1)^2 = (4ac + 4a) - 4ac $$

左辺を展開して整理すると、

$$ -2b + 3 = 4a \quad \cdots \text{④} $$

次に、③から②を辺々引くと、

$$ (b-3)^2 - (b-2)^2 = (4ac + 12a) - (4ac + 4a) $$

左辺を展開して整理すると、

$$ -2b + 5 = 8a \quad \cdots \text{⑤} $$

⑤から④を辺々引くと、

$$ (-2b + 5) - (-2b + 3) = 8a - 4a $$

$$ 2 = 4a $$

したがって、

$$ a = \frac{1}{2} $$

これは $a \neq 0$ を満たす。 この $a$ の値を④に代入すると、

$$ -2b + 3 = 4 \cdot \frac{1}{2} $$

$$ -2b = -1 $$

したがって、

$$ b = \frac{1}{2} $$

最後に、$a = \frac{1}{2}$ と $b = \frac{1}{2}$ を①に代入すると、

$$ \left(\frac{1}{2} - 1\right)^2 = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot c $$

$$ \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 2c $$

$$ \frac{1}{4} = 2c $$

したがって、

$$ c = \frac{1}{8} $$

以上より、求める値が定まる。

解法2

放物線 $y = ax^2 + bx + c$ 上の点 $(t, at^2+bt+c)$ における接線の方程式を求める。 $y' = 2ax + b$ であるから、接線の傾きは $2at + b$ となる。 したがって、接線の方程式は、

$$ y - (at^2 + bt + c) = (2at + b)(x - t) $$

整理すると、

$$ y = (2at + b)x - at^2 + c $$

この接線が $y = x$, $y = 2x - 1$, $y = 3x - 3$ のそれぞれと一致するような実数 $t$ が存在すればよい。 それぞれの接点の $x$ 座標を $t_1, t_2, t_3$ とする。

直線 $y = x$ と一致する条件は、係数を比較して、

$$ \begin{cases} 2at_1 + b = 1 \\ -at_1^2 + c = 0 \end{cases} $$

直線 $y = 2x - 1$ と一致する条件は、

$$ \begin{cases} 2at_2 + b = 2 \\ -at_2^2 + c = -1 \end{cases} $$

直線 $y = 3x - 3$ と一致する条件は、

$$ \begin{cases} 2at_3 + b = 3 \\ -at_3^2 + c = -3 \end{cases} $$

各直線における第1式から、

$$ t_1 = \frac{1-b}{2a}, \quad t_2 = \frac{2-b}{2a}, \quad t_3 = \frac{3-b}{2a} $$

これらをそれぞれの第2式に代入すると、

$$ -a \left(\frac{1-b}{2a}\right)^2 + c = 0 \iff (1-b)^2 = 4ac $$

$$ -a \left(\frac{2-b}{2a}\right)^2 + c = -1 \iff (2-b)^2 = 4a(c+1) $$

$$ -a \left(\frac{3-b}{2a}\right)^2 + c = -3 \iff (3-b)^2 = 4a(c+3) $$

これらの式は、解法1で判別式から導いた条件式①、②、③と全く同じである。 これ以降の計算は解法1と同様にして、$a, b, c$ の値が得られる。

解説

放物線と直線が接する条件を扱う際の標準的な問題である。「連立して得られる2次方程式の判別式 $D=0$ となること」または「微分による接線の方程式との係数比較」の2通りの方針が考えられるが、本問のように接点が不明で直線の式が全て分かっている場合は、判別式を用いる方が思考のステップが少なく自然である。

連立方程式を解く際には、得られた3つの式から二次式である $b^2$ と $4ac$ の項を消去するために、差をとる操作が有効である。文字の消去の順序を工夫することで計算量が大きく減り、計算ミスを防ぐことができる。

答え

$a = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{2}$

$c = \frac{1}{8}$