解説

方針・初手

平行移動の条件式を立て、係数比較によって定数 $a$ の値を求める。放物線の図示においては、それぞれの頂点と $y$ 切片、そして交点の座標を明らかにすることで正確な概形を捉える。三角形の面積は、座標平面上の $3$ 点の座標から公式を用いて計算する。

解法1

**(1)** 放物線 $y = 3x^2+2ax+8$ を、$x$ 軸方向に $1$、$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動した放物線の方程式は、もとの方程式の $x$ を $x-1$、$y$ を $y+2$ に置き換えることで得られる。

$$ y+2 = 3(x-1)^2+2a(x-1)+8 $$

整理すると、

$$ y = 3(x^2-2x+1)+2ax-2a+6 $$

$$ y = 3x^2+2(a-3)x-2a+9 $$

これが放物線 $y = 3x^2+2(a-3)x-1$ と一致する。$x$ の係数は既に一致しているため、定数項を比較して、

$$ -2a+9 = -1 $$

$$ -2a = -10 $$

$$ a = 5 $$

このとき、$2$ つの放物線の方程式はそれぞれ以下のようになる。 移動前の放物線 $C_1$: $y = 3x^2+10x+8$ は、平方完成すると、

$$ y = 3 \left(x+\frac{5}{3}\right)^2 - \frac{1}{3} $$

となるため、頂点が $\left(-\frac{5}{3}, -\frac{1}{3}\right)$、$y$ 切片が $8$ の下に凸の放物線である。

移動後の放物線 $C_2$: $y = 3x^2+4x-1$ は、平方完成すると、

$$ y = 3 \left(x+\frac{2}{3}\right)^2 - \frac{7}{3} $$

となるため、頂点が $\left(-\frac{2}{3}, -\frac{7}{3}\right)$、$y$ 切片が $-1$ の下に凸の放物線である。

また、これら $2$ つの放物線の交点の $x$ 座標は、

$$ 3x^2+10x+8 = 3x^2+4x-1 $$

$$ 6x = -9 $$

$$ x = -\frac{3}{2} $$

このとき、

$$ y = 3 \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 4 \left(-\frac{3}{2}\right) - 1 = \frac{27}{4} - 6 - 1 = -\frac{1}{4} $$

となるため、交点は $\left(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{4}\right)$ である。 図示する際は、これらの頂点、$y$ 切片、および交点の位置関係に注意して $xy$ 平面上に $2$ つの放物線を描く。

**(2)** **(1)** より、$2$ つの放物線の頂点はそれぞれ $P\left(-\frac{5}{3}, -\frac{1}{3}\right)$、$Q\left(-\frac{2}{3}, -\frac{7}{3}\right)$ である。 求める面積は、原点 $O(0, 0)$ と点 $P$、$Q$ の $3$ 点を頂点とする三角形 $\triangle OPQ$ の面積 $S$ である。

座標平面上の原点と他の $2$ 点 $(x_1, y_1)$、$(x_2, y_2)$ を結ぶ三角形の面積の公式により、$S$ は以下のように計算できる。

$$ S = \frac{1}{2} \left| \left(-\frac{5}{3}\right) \cdot \left(-\frac{7}{3}\right) - \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \right| $$

$$ S = \frac{1}{2} \left| \frac{35}{9} - \frac{2}{9} \right| $$

$$ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{33}{9} $$

$$ S = \frac{11}{6} $$

解説

放物線の平行移動に関する基本問題である。平行移動後のグラフの方程式を求める方法は、頂点を移動させる方法と、変数 $x, y$ をそれぞれ $x-p, y-q$ に置き換える方法があるが、本問のように一般形で与えられている場合は後者の代入による方法が計算の負担を減らしやすい。 三角形の面積については、座標平面上の $3$ 点の座標が与えられたときに使える面積公式 $S = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$ を用いると速やかに求まる。この公式は高校数学の図形と方程式、あるいはベクトルの分野で広く知られている実用的な公式であるため、積極的に活用したい。

答え

**(1)**

$a = 5$

図示は、頂点 $\left(-\frac{5}{3}, -\frac{1}{3}\right)$、$y$ 切片 $8$ の放物線と、頂点 $\left(-\frac{2}{3}, -\frac{7}{3}\right)$、$y$ 切片 $-1$ の放物線を、交点 $\left(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{4}\right)$ を通るように描く。

**(2)**

$\frac{11}{6}$