解説

方針・初手

与えられた条件から $a, b, c$ に関する連立方程式を立式する。 方程式を平行移動させてから通る点の座標を代入するアプローチ（解法1）と、点の平行移動を逆算することで元の放物線が通る第3の点を求めるアプローチ（解法2）が考えられる。

解法1

放物線 $y = ax^2 + bx + c$ が点 $(0, 4)$ を通るので、

$$ c = 4 $$

また、点 $(1, 6)$ を通るので、

$$ a + b + 4 = 6 $$

整理して、

$$ a + b = 2 \quad \cdots \text{①} $$

次に、この放物線を $x$ 軸方向に $1$ 、$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動した放物線の方程式は、元の式の $x$ を $x - 1$ に、$y$ を $y - (-2)$ に置き換えて、

$$ y + 2 = a(x - 1)^2 + b(x - 1) + 4 $$

$$ y = a(x - 1)^2 + b(x - 1) + 2 $$

この移動後の放物線が点 $(-1, 40)$ を通るので、$x = -1, y = 40$ を代入して、

$$ 40 = a(-1 - 1)^2 + b(-1 - 1) + 2 $$

$$ 40 = 4a - 2b + 2 $$

$$ 4a - 2b = 38 $$

$$ 2a - b = 19 \quad \cdots \text{②} $$

①、②の辺々を加えて $b$ を消去すると、

$$ 3a = 21 $$

$$ a = 7 $$

これを①に代入して、

$$ 7 + b = 2 $$

$$ b = -5 $$

以上より、$a = 7, b = -5, c = 4$ である。

解法2

平行移動した後の放物線が点 $(-1, 40)$ を通るということは、移動前の元の放物線 $y = ax^2 + bx + c$ は、点 $(-1, 40)$ を $x$ 軸方向に $-1$、$y$ 軸方向に $+2$ （問題文に示された移動の逆）だけ平行移動した点を通るということである。

その点の座標は、

$$ (-1 - 1, 40 + 2) = (-2, 42) $$

よって、元の放物線 $y = ax^2 + bx + c$ は、3点 $(0, 4), (1, 6), (-2, 42)$ を通ることがわかる。

$(0, 4)$ を通ることから、

$$ c = 4 $$

$(1, 6)$ を通ることから、

$$ a + b + 4 = 6 $$

$$ a + b = 2 \quad \cdots \text{①} $$

$(-2, 42)$ を通ることから、

$$ 4a - 2b + 4 = 42 $$

$$ 4a - 2b = 38 $$

$$ 2a - b = 19 \quad \cdots \text{②} $$

①、②を連立して解く。辺々を加えると、

$$ 3a = 21 $$

$$ a = 7 $$

これを①に代入して、

$$ 7 + b = 2 $$

$$ b = -5 $$

したがって、$a = 7, b = -5, c = 4$ を得る。

解説

2次関数の決定問題である。 解法1のように軌跡の方程式を直接求めて代入する解法が王道であるが、図形（グラフ）の移動に着目し、通る点の座標を逆算する解法2のアプローチは計算量や展開の手間を減らすことができるため、実戦において非常に有効である。 数式全体を平行移動させる操作は計算ミスを誘発しやすいため、「図形の移動」を「点の移動」にすり替える視点は持っておきたい。

答え

$a = 7, b = -5, c = 4$