解説

方針・初手

放物線と直線の交点の座標を求めるために連立し、得られる2次方程式の2解を $\alpha, \beta$ とおく。2点間の距離は、直線の傾きを利用すると $x$ 座標の差のみで表すことができる。解と係数の関係、または解の差の公式を用いて立式する。

解法1

放物線 $y = x^2 - 6x + 10$ と直線 $y = 3x + k$ の方程式を連立する。

$$ x^2 - 6x + 10 = 3x + k $$

整理すると

$$ x^2 - 9x + 10 - k = 0 \cdots \text{①} $$

放物線と直線が異なる2点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ で交わるため、2次方程式①は異なる2つの実数解をもつ。 ①の判別式を $D$ とすると、$D > 0$ であるから

$$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (10 - k) = 41 + 4k > 0 $$

よって

$$ k > -\frac{41}{4} \cdots \text{②} $$

①の2つの実数解を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とすると、解と係数の関係より

$$ \begin{aligned} \alpha + \beta &= 9 \\ \alpha \beta &= 10 - k \end{aligned} $$

2点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ は直線 $y = 3x + k$ 上にあるため、その座標は $(\alpha, 3\alpha + k), (\beta, 3\beta + k)$ と表せる。 線分 $\mathrm{PQ}$ の長さの2乗は

$$ \begin{aligned} \mathrm{PQ}^2 &= (\beta - \alpha)^2 + \{(3\beta + k) - (3\alpha + k)\}^2 \\ &= (\beta - \alpha)^2 + 9(\beta - \alpha)^2 \\ &= 10(\beta - \alpha)^2 \end{aligned} $$

ここで

$$ \begin{aligned} (\beta - \alpha)^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta \\ &= 9^2 - 4(10 - k) \\ &= 41 + 4k \end{aligned} $$

であるから

$$ \mathrm{PQ}^2 = 10(41 + 4k) $$

条件より $\mathrm{PQ} = 5\sqrt{10}$ であるから、$\mathrm{PQ}^2 = 250$ となる。

$$ 10(41 + 4k) = 250 $$

$$ 41 + 4k = 25 $$

$$ 4k = -16 $$

$$ k = -4 $$

これは条件②を満たす。

解法2

放物線と直線の交点の $x$ 座標は、2次方程式 $x^2 - 9x + 10 - k = 0$ の解である。 異なる2点で交わることから、判別式 $D = 41 + 4k > 0$ である。

解の公式より、交点の $x$ 座標 $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) の差は

$$ \beta - \alpha = \frac{-(-9) + \sqrt{D}}{2} - \frac{-(-9) - \sqrt{D}}{2} = \sqrt{D} = \sqrt{41 + 4k} $$

2点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ は傾き $3$ の直線 $y = 3x + k$ 上にある。直線の傾きから、水平方向の距離が $1$ のとき斜め方向の距離は $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$ となる。 したがって、2点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 間の距離は、$x$ 座標の差の $\sqrt{10}$ 倍であるから

$$ \mathrm{PQ} = \sqrt{10}(\beta - \alpha) = \sqrt{10}\sqrt{41 + 4k} $$

条件より $\mathrm{PQ} = 5\sqrt{10}$ であるから

$$ \sqrt{10}\sqrt{41 + 4k} = 5\sqrt{10} $$

$$ \sqrt{41 + 4k} = 5 $$

両辺を2乗して

$$ 41 + 4k = 25 $$

$$ 4k = -16 $$

$$ k = -4 $$

このとき、判別式 $D = 25 > 0$ を満たすため適する。

解説

2次関数と直線の交点に関する典型問題である。交点の座標を直接求めようとすると根号が含まれ計算が煩雑になるため、解と係数の関係を利用するか、解の公式の差の部分のみを取り出す工夫が必要である。 また、傾き $m$ の直線上の2点間の距離が、その $x$ 座標の差を $d$ としたとき $d\sqrt{1 + m^2}$ で表されることは、計算量削減に直結するため必ず押さえておきたい。交点をもつための条件（判別式 $D > 0$）の確認も忘れるべきではない。

答え

$k = -4$