解説

方針・初手

放物線の対称移動および平行移動の規則に従って与えられた式を変形し、移動後の式と係数を比較する。グラフの頂点の座標を追跡する方法もあるが、関数 $y=f(x)$ における $x, y$ の置き換えを直接行う方が計算が簡潔である。また、移動後の式から逆の操作を行って元の式を求めるアプローチも有効である。

解法1

元の放物線 $y = x^2 + ax + b$ を原点に関して対称移動する。 $x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換えると、

$$ -y = (-x)^2 + a(-x) + b $$

整理して、

$$ y = -x^2 + ax - b $$

となる。 さらにこれを $y$ 軸方向に $8$ だけ平行移動するので、右辺に $8$ を加える（あるいは $y$ を $y-8$ に置き換える）と、

$$ y = -x^2 + ax - b + 8 $$

となる。 問題の条件より、これが放物線 $y = -x^2 + 7x + 5$ と一致する。 したがって、各項の係数を比較して、

$$ \begin{cases} a = 7 \\ -b + 8 = 5 \end{cases} $$

が成り立つ。 第2式を解いて $b = 3$ となる。 ゆえに、$a = 7, b = 3$ である。

解法2

移動後の放物線 $y = -x^2 + 7x + 5$ に対して、与えられた移動と逆の移動を行うことで、元の放物線の方程式を求める。

まず、$y$ 軸方向に $8$ だけ平行移動した結果が与えられているため、逆の操作として $y$ 軸方向に $-8$ だけ平行移動する。

$$ y = -x^2 + 7x + 5 - 8 $$

$$ y = -x^2 + 7x - 3 $$

次に、原点に関する対称移動の逆操作は、やはり原点に関する対称移動である。 したがって、$x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換えると、

$$ -y = -(-x)^2 + 7(-x) - 3 $$

$$ -y = -x^2 - 7x - 3 $$

両辺に $-1$ を掛けて、

$$ y = x^2 + 7x + 3 $$

を得る。 これが元の放物線 $y = x^2 + ax + b$ と一致するため、係数を比較して、

$$ a = 7, b = 3 $$

となる。

解説

関数のグラフの移動において、$x$ 軸方向へ $p$、$y$ 軸方向へ $q$ の平行移動は、式中の $x$ を $x-p$ に、$y$ を $y-q$ に置き換えることで得られる。 また、原点に関する対称移動は、$x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換えることで得られる。 この基本法則に従って素直に式変形を行うだけで確実に正答へ辿り着くことができる。逆算による解法（解法2）も検算として有用である。

答え

$a = 7, b = 3$