解説

方針・初手

条件(A)と(B)より、$f(x)$ は $x=k$ で最大値 $f(k)=13$ をとる2次関数であることがわかる。ここから $f(x)$ を $f(x)=a(x-k)^2+13$ ($a<0$) と設定する。その後、条件(C)の恒等式に $x=k$ と $x=-k$ を代入し、与えられた関数値を利用して $k$ についての方程式を導く。

解法1

条件(A)と条件(B)の $f(k)=13$ より、$f(x)$ は $x=k$ で最大値 $13$ をとる2次関数であるから、実数 $a$ ($a<0$) を用いて

$$ f(x) = a(x-k)^2 + 13 $$

とおける。

条件(B)の $f(-k)=-23$ より、

$$ a(-k-k)^2 + 13 = -23 $$

$$ 4ak^2 = -36 $$

$$ ak^2 = -9 \quad \cdots (1) $$

次に、条件(C)の等式 $f(x)+g(x)=2x^2+13x+5$ はすべての $x$ で成り立つので、 $x=k$ および $x=-k$ を代入する。

$x=k$ のとき、

$$ f(k)+g(k) = 2k^2+13k+5 $$

条件(B)より $f(k)=13, g(k)=49$ であるから、

$$ 13 + 49 = 2k^2 + 13k + 5 $$

$$ 2k^2 + 13k - 57 = 0 $$

$$ (2k+19)(k-3) = 0 \quad \cdots (2) $$

$x=-k$ のとき、

$$ f(-k)+g(-k) = 2(-k)^2+13(-k)+5 $$

条件(B)より $f(-k)=-23, g(-k)=7$ であるから、

$$ -23 + 7 = 2k^2 - 13k + 5 $$

$$ 2k^2 - 13k + 21 = 0 $$

$$ (2k-7)(k-3) = 0 \quad \cdots (3) $$

$k$ は式(2)と式(3)を同時に満たす必要があるため、

$$ k = 3 $$

である。

これを式(1)に代入すると、

$$ a \cdot 3^2 = -9 $$

$$ a = -1 $$

これは条件 $a<0$ を満たす。

したがって、$f(x)$ は

$$ f(x) = -(x-3)^2 + 13 $$

$$ f(x) = -x^2 + 6x + 4 $$

となる。

また、条件(C)より

$$ g(x) = 2x^2 + 13x + 5 - f(x) $$

であるから、

$$ g(x) = 2x^2 + 13x + 5 - (-x^2 + 6x + 4) $$

$$ g(x) = 3x^2 + 7x + 1 $$

これは2次関数であり、題意を満たす。

解説

恒等式の処理として係数比較法を用いることも可能であるが、本問では特定の $x$ の値（$x=k$ および $x=-k$）における関数値が具体的に与えられているため、それらを代入する数値代入法を用いる方が圧倒的に早く計算を進めることができる。求めた $a$ が $f(x)$ が最大値をもつ条件（$a<0$）を満たしているかどうかの確認を忘れないようにしたい。

答え

$k=3$

$f(x) = -x^2+6x+4$

$g(x) = 3x^2+7x+1$