解説

方針・初手

2次関数のグラフの平行移動と、$x$ 軸に接するという条件から未知の値を求める問題である。 2次関数のグラフが $x$ 軸に接するということは、頂点の $y$ 座標が $0$ になるということである。したがって、元の2次関数を平方完成して頂点の座標を求め、それを平行移動させて得られる新しい頂点の座標について条件を立式するのが最も見通しがよい。 また、移動後の2次関数の方程式を直接求め、それが $x$ 軸に接する（すなわち、$y=0$ としたときの2次方程式が重解をもつ）という条件から判別式を用いて解くこともできる。

解法1

与えられた2次関数 $y = 2x^2 - x - \frac{1}{4}a^2 + a$ を平方完成する。

$$ \begin{aligned} y &= 2\left(x^2 - \frac{1}{2}x\right) - \frac{1}{4}a^2 + a \\ &= 2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{4}a^2 + a \\ &= 2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{8} - \frac{1}{4}a^2 + a \end{aligned} $$

これにより、元の2次関数のグラフの頂点の座標は $\left( \frac{1}{4}, -\frac{1}{4}a^2 + a - \frac{1}{8} \right)$ であることがわかる。

このグラフを $x$ 軸方向に $-4$、$y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動させるので、移動後のグラフの頂点の座標は

$$ \left( \frac{1}{4} - 4, -\frac{1}{4}a^2 + a - \frac{1}{8} + b \right) $$

すなわち

$$ \left( -\frac{15}{4}, -\frac{1}{4}a^2 + a + b - \frac{1}{8} \right) $$

となる。

移動後のグラフが $x$ 軸に接するとき、接点の $x$ 座標は頂点の $x$ 座標と一致するため、求める接点の $x$ 座標は $-\frac{15}{4}$ である。

また、グラフが $x$ 軸に接するための条件は、頂点の $y$ 座標が $0$ になることであるから

$$ -\frac{1}{4}a^2 + a + b - \frac{1}{8} = 0 $$

が成り立つ。これを $b$ について解くと

$$ b = \frac{1}{4}a^2 - a + \frac{1}{8} $$

となる。

解法2

元の2次関数 $y = 2x^2 - x - \frac{1}{4}a^2 + a$ のグラフを $x$ 軸方向に $-4$、$y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動させたグラフの方程式は、$x$ を $x - (-4) = x + 4$ に、$y$ を $y - b$ に置き換えて得られる。

$$ y - b = 2(x + 4)^2 - (x + 4) - \frac{1}{4}a^2 + a $$

右辺を展開して整理する。

$$ \begin{aligned} y &= 2(x^2 + 8x + 16) - x - 4 - \frac{1}{4}a^2 + a + b \\ &= 2x^2 + 16x + 32 - x - 4 - \frac{1}{4}a^2 + a + b \\ &= 2x^2 + 15x + 28 - \frac{1}{4}a^2 + a + b \end{aligned} $$

この2次関数のグラフが $x$ 軸に接するための条件は、$y = 0$ とした2次方程式

$$ 2x^2 + 15x + 28 - \frac{1}{4}a^2 + a + b = 0 $$

が重解をもつことである。この方程式の判別式を $D$ とすると、$D = 0$ となればよい。

$$ \begin{aligned} D &= 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot \left( 28 - \frac{1}{4}a^2 + a + b \right) \\ &= 225 - 8 \left( 28 - \frac{1}{4}a^2 + a + b \right) \\ &= 225 - 224 + 2a^2 - 8a - 8b \\ &= 2a^2 - 8a - 8b + 1 \end{aligned} $$

$D = 0$ より

$$ 2a^2 - 8a - 8b + 1 = 0 $$

これを $b$ について解くと

$$ \begin{aligned} 8b &= 2a^2 - 8a + 1 \\ b &= \frac{1}{4}a^2 - a + \frac{1}{8} \end{aligned} $$

となる。

また、このときの接点の $x$ 座標は、重解の値であるから、解の公式より

$$ x = -\frac{15}{2 \cdot 2} = -\frac{15}{4} $$

となる。

解説

2次関数の平行移動に関する基本的な問題である。関数の式の $x$ を $x-p$、$y$ を $y-q$ に置き換えて展開する手法（解法2）と、頂点の座標の移動を追う手法（解法1）のどちらでも解くことができる。 本問においては、$x$ の係数や定数項に文字式が含まれているため、式を展開して判別式を計算する解法2よりも、平方完成を行って頂点の移動だけで処理を完結させる解法1のほうが計算量が少なく、計算ミスのリスクを減らすことができる。問題文の構造に応じて、頂点の座標に着目する見方を身につけておくことが望ましい。

答え

接点の $x$ 座標: $-\frac{15}{4}$

$b$ の値: $b = \frac{1}{4}a^2 - a + \frac{1}{8}$