解説

方針・初手

放物線の移動操作（対称移動、平行移動）を数式上で順番に実行し、得られた式と与えられた式を係数比較する。あるいは、移動後の放物線に対して逆の移動操作を行い、元の式と比較する。

解法1

放物線 $y = x^2 + ax + b$ を原点に関して対称移動する。式における $x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換えると、

$$ -y = (-x)^2 + a(-x) + b $$

すなわち、

$$ y = -x^2 + ax - b $$

となる。次に、この放物線を $y$ 軸方向に $8$ だけ平行移動する。右辺に $8$ を加える（あるいは $y$ を $y - 8$ に置き換える）と、

$$ y = -x^2 + ax - b + 8 $$

となる。これが放物線 $y = -x^2 + 7x + 5$ に一致するので、各項の係数を比較して、

$$ a = 7 $$

$$ -b + 8 = 5 $$

第2式より $b = 3$ となる。

解法2

移動後の放物線 $y = -x^2 + 7x + 5$ に対して、問題文で指定された移動の逆の操作を行い、元の式を求める。

まず、「$y$ 軸方向に $8$ だけ平行移動した」操作の逆として、放物線 $y = -x^2 + 7x + 5$ を $y$ 軸方向に $-8$ だけ平行移動する。

$$ y = -x^2 + 7x + 5 - 8 $$

$$ y = -x^2 + 7x - 3 $$

次に、「原点に関して対称移動した」操作の逆を行う。原点に関する対称移動の逆操作は、再び原点に関して対称移動することである。$x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換えると、

$$ -y = -(-x)^2 + 7(-x) - 3 $$

$$ y = x^2 + 7x + 3 $$

これが元の放物線 $y = x^2 + ax + b$ と一致する。係数を比較して、

$$ a = 7 $$

$$ b = 3 $$

解説

図形の対称移動や平行移動は、式における変数の置き換えによって処理するのが定石である。原点に関する対称移動は $x \to -x$、$y \to -y$ の置き換え、特定の方向への平行移動はその移動量に応じた引き算（$y$ 軸方向に $q$ ならば $y \to y - q$）で実行できる。

本問のように移動後の式が具体的な数値で与えられている場合は、解法2のように移動後の式から「逆算」して元に戻す方針をとると、未知数 $a, b$ を含む式の変形を避けられるため、計算ミスを防ぎやすい。

答え

$a = 7$

$b = 3$