解説

方針・初手

2次関数の決定問題である。与えられた条件の中に「軸の直線の方程式」が含まれているため、2次関数を基本形 $y=a(x-p)^2+q$ で表すのが最も自然なアプローチである。または、そのままの形 $y=ax^2+bx+c$ を用いて、軸の方程式 $x=-\frac{b}{2a}$ と通過点の条件から連立方程式を立ててもよい。

解法1

2次関数のグラフは直線 $x=1$ を軸とするので、頂点の $x$ 座標は $1$ である。 したがって、求める2次関数は次のように表せる。

$$ y = a(x - 1)^2 + q \quad (a \neq 0) $$

このグラフが点 $(0, 7)$ を通るから、

$$ 7 = a(0 - 1)^2 + q $$

$$ a + q = 7 \quad \cdots \text{(1)} $$

また、点 $(3, 11)$ を通るから、

$$ 11 = a(3 - 1)^2 + q $$

$$ 4a + q = 11 \quad \cdots \text{(2)} $$

(2) $-$ (1) より、

$$ 3a = 4 $$

$$ a = \frac{4}{3} $$

これを(1)に代入して、

$$ \frac{4}{3} + q = 7 $$

$$ q = 7 - \frac{4}{3} = \frac{17}{3} $$

よって、2次関数は

$$ y = \frac{4}{3}(x - 1)^2 + \frac{17}{3} $$

これを展開して整理すると、

$$ \begin{aligned} y &= \frac{4}{3}(x^2 - 2x + 1) + \frac{17}{3} \\ &= \frac{4}{3}x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{4}{3} + \frac{17}{3} \\ &= \frac{4}{3}x^2 - \frac{8}{3}x + 7 \end{aligned} $$

これと $y = ax^2 + bx + c$ の係数を比較して、

$$ a = \frac{4}{3}, \quad b = -\frac{8}{3}, \quad c = 7 $$

解法2

与えられた2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ を平方完成すると、

$$ \begin{aligned} y &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \\ &= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \end{aligned} $$

したがって、軸の方程式は $x = -\frac{b}{2a}$ である。 これが直線 $x = 1$ に一致するので、

$$ -\frac{b}{2a} = 1 $$

$$ b = -2a \quad \cdots \text{(1)} $$

グラフが点 $(0, 7)$ を通ることから、 $x=0, y=7$ を $y = ax^2 + bx + c$ に代入して、

$$ c = 7 \quad \cdots \text{(2)} $$

グラフが点 $(3, 11)$ を通ることから、 $x=3, y=11$ を $y = ax^2 + bx + c$ に代入して、

$$ 11 = 9a + 3b + c \quad \cdots \text{(3)} $$

(1), (2) を (3) に代入すると、

$$ 11 = 9a + 3(-2a) + 7 $$

$$ 11 = 3a + 7 $$

$$ 3a = 4 $$

$$ a = \frac{4}{3} $$

これを (1) に代入して、

$$ b = -2 \times \frac{4}{3} = -\frac{8}{3} $$

よって、

$$ a = \frac{4}{3}, \quad b = -\frac{8}{3}, \quad c = 7 $$

解説

2次関数の決定においては、与えられた条件によって関数の置き方を変えるのが定石である。 本問のように「軸」や「頂点」に関する条件が与えられている場合は、基本形 $y=a(x-p)^2+q$ を用いる（解法1）のが計算量を減らすコツである。 しかし、本問では通過点の一つが $y$ 切片 $(0, 7)$ であるため、$y=ax^2+bx+c$ に代入すると即座に $c=7$ が求まる。そのため、一般形のまま係数を比較する（解法2）方針でも非常に計算が楽になる。どちらのアプローチでもスムーズに解けるようにしておきたい。

答え

$a = \frac{4}{3}, \quad b = -\frac{8}{3}, \quad c = 7$