解説

方針・初手

$x$軸に接する2次関数であるから、頂点の$y$座標は$0$である。したがって、求める2次関数の式は $y=a(x-p)^2$ と設定できる。この式に与えられた2点の座標を代入し、$a$ と $p$ についての連立方程式を解く。

解法1

求める2次関数は$x$軸に接するので、その式を

$$ y = a(x-p)^2 \quad (a \neq 0) $$

とおく。

このグラフが2点 $(1, -3), (3, -27)$ を通るから、

$$ \begin{cases} -3 = a(1-p)^2 & \dots \text{①} \\ -27 = a(3-p)^2 & \dots \text{②} \end{cases} $$

①より $-3 \neq 0$ であるから、$a \neq 0$ かつ $1-p \neq 0$ すなわち $p \neq 1$ である。

②の両辺を①の両辺で割って $a$ を消去すると、

$$ 9 = \frac{(3-p)^2}{(1-p)^2} $$

分母を払って展開すると、

$$ 9(1-p)^2 = (3-p)^2 $$

$$ 9(p^2 - 2p + 1) = p^2 - 6p + 9 $$

整理して、

$$ 8p^2 - 12p = 0 $$

$$ 4p(2p - 3) = 0 $$

これより、$p = 0, \frac{3}{2}$ を得る。

**(i)** $p = 0$ のとき

①より、

$$ -3 = a(1-0)^2 $$

よって、$a = -3$ となる。これは $a \neq 0$ を満たす。

このとき、求める2次関数は

$$ y = -3x^2 $$

**(ii)** $p = \frac{3}{2}$ のとき

①より、

$$ -3 = a \left(1 - \frac{3}{2}\right)^2 $$

$$ -3 = \frac{1}{4}a $$

よって、$a = -12$ となる。これも $a \neq 0$ を満たす。

このとき、求める2次関数は

$$ y = -12 \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 $$

展開して整理すると $y = -12x^2 + 36x - 27$ となる。

解説

「$x$軸に接する」という条件から、直ちに $y=a(x-p)^2$ の形を想定できるかが問われている。一般形 $y=ax^2+bx+c$ とおいて判別式 $D=b^2-4ac=0$ を用いる方法でも解けるが、未知数が3つになり計算が煩雑になるため避けるのが賢明である。

また、連立方程式を解く際に、辺々を割って定数 $a$ を消去する工夫を用いると計算がスムーズに進む。その際、割る式が $0$ でないこと（$p \neq 1$）を明記すると、より厳密で隙のない答案となる。通る2点の $y$ 座標がともに負であることから、上に凸の放物線（$a < 0$）になるという見通しを持っておくことも大切である。

答え

$y = -3x^2$

$y = -12 \left(x - \frac{3}{2}\right)^2$ （または $y = -12x^2 + 36x - 27$）