解説

方針・初手

頂点が直線 $y=x$ 上にあることから、頂点の座標を $(p,p)$ とおくことができる。

高校数学における一般的な出題の前提に従い、軸が $y$ 軸に平行な放物線を想定し、基本形 $y=a(x-p)^2+p$ を立式する。

通る2点の座標を代入して、未定係数 $a$ と $p$ についての連立方程式を解く。

解法1

軸が $y$ 軸に平行な放物線を考える。

頂点が直線 $y=x$ 上にあるので、頂点の座標を $(p, p)$ とおくことができる。

求める放物線の方程式を $$ y = a(x-p)^2 + p \quad (a \neq 0) $$ とおく。

これが2点 $(0, -2), (1, 1)$ を通ることから、それぞれの座標を $x, y$ に代入して $$ -2 = ap^2 + p \quad \cdots \text{①} $$

$$ 1 = a(1-p)^2 + p \quad \cdots \text{②} $$ が成り立つ。

②の右辺を展開すると $$ 1 = a(1 - 2p + p^2) + p = a - 2ap + ap^2 + p $$ となる。

ここに①より得られる $ap^2 = -p - 2$ を代入すると $$ 1 = a - 2ap + (-p - 2) + p $$

$$ 1 = a(1 - 2p) - 2 $$

$$ a(1 - 2p) = 3 \quad \cdots \text{③} $$ となる。

ここで、$p = \frac{1}{2}$ とすると③は $0 = 3$ となり矛盾するため、$p \neq \frac{1}{2}$ である。

よって、③より $$ a = \frac{3}{1 - 2p} $$ となる。これを①に代入して $$ -2 = \frac{3p^2}{1 - 2p} + p $$

両辺に $1 - 2p$ を掛けて分母を払うと $$ -2(1 - 2p) = 3p^2 + p(1 - 2p) $$

$$ -2 + 4p = 3p^2 + p - 2p^2 $$

$$ p^2 - 3p + 2 = 0 $$

$$ (p - 1)(p - 2) = 0 $$ ゆえに $$ p = 1, 2 $$ となる。

問題の条件より、頂点は $(1, 1)$ ではないため、$p \neq 1$ である。

したがって、$p = 2$ となる。

$p = 2$ のとき、$a$ の値は $$ a = \frac{3}{1 - 2 \cdot 2} = -1 $$ となり、これは $a \neq 0$ を満たす。

よって、求める放物線の方程式は $$ y = -(x - 2)^2 + 2 $$ であり、展開して整理すると $$ y = -x^2 + 4x - 2 $$ となる。

解説

2次関数の決定問題である。

放物線の決定において「頂点」に関する条件が与えられている場合は、標準形 $y=a(x-p)^2+q$ で立式するのが定石である。今回は頂点が $y=x$ 上にあることから $(p,p)$ とおけるため、未知数を $a, p$ の2つに絞ることができる。

連立方程式を解く過程で $p$ の2次方程式を導き出すが、解が2つ出てくる。ここで問題文の「ただし、頂点は $(1,1)$ でないとする」という除外条件が活きることになる。条件を見落とさずに適切に処理することが重要である。

なお、単に「放物線」と言った場合、軸が $x$ 軸に平行な放物線 $x=a(y-p)^2+q$（数学Cの二次曲線の範囲）を考えることも数学的には可能であり、その場合 $x = \frac{5}{9}\left(y + \frac{4}{5}\right)^2 - \frac{4}{5}$ という解も存在する。しかし、一般的な入試問題において軸の方向が明示されていない場合は、「 $y$ の2次関数」としての放物線を暗黙の前提としていることがほとんどである。本解説では標準的な解釈に従い、軸が $y$ 軸に平行な放物線のみを解答とした。

答え

$$ y = -x^2 + 4x - 2 $$