解説

方針・初手

与えられた放物線の方程式に3つの点の座標を代入し、$a, b, c$ の3元1次連立方程式を立てる。それを解いて $a, b, c$ の値を求めた後、得られた2次関数を平方完成して頂点の座標を求める。

解法1

放物線 $y = ax^2 + bx + c$ が3点 $(-1, 6), (1, 0), (2, 3)$ を通るので、それぞれの座標を代入して以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} a - b + c = 6 & \cdots \text{①} \\ a + b + c = 0 & \cdots \text{②} \\ 4a + 2b + c = 3 & \cdots \text{③} \end{cases} $$

①と②から $a$ と $c$ を消去して $b$ を求める。①から②を引くと、

$$ -2b = 6 $$

よって、$b = -3$ である。

また、①と②を足すと、

$$ 2a + 2c = 6 \iff a + c = 3 \quad \cdots \text{④} $$

③に $b = -3$ を代入すると、

$$ 4a - 6 + c = 3 \iff 4a + c = 9 \quad \cdots \text{⑤} $$

⑤から④を引くと、

$$ 3a = 6 $$

よって、$a = 2$ である。

これを④に代入すると、

$$ 2 + c = 3 $$

よって、$c = 1$ である。

以上より、$a = 2, b = -3, c = 1$ となる。 このとき、放物線の方程式は $y = 2x^2 - 3x + 1$ となる。

次に、この式を平方完成して頂点の座標を求める。

$$ \begin{aligned} y &= 2x^2 - 3x + 1 \\ &= 2\left(x^2 - \frac{3}{2}x\right) + 1 \\ &= 2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 + 1 \\ &= 2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{8} + \frac{8}{8} \\ &= 2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{1}{8} \end{aligned} $$

したがって、頂点の座標は $\left(\frac{3}{4}, -\frac{1}{8}\right)$ である。

解説

2次関数が通る3点が与えられた場合、$y = ax^2 + bx + c$ にそれぞれの座標を代入し、未知数 $a, b, c$ についての3元1次連立方程式を解くのが基本方針となる。

特に今回のように、通る点の $x$ 座標の絶対値が同じで符号が異なる2点（本問では $x = -1$ と $x = 1$）が含まれている場合は、足し引きすることで容易に文字を消去できるため、計算ミスを防ぐためにもこの特徴を活かすとよい。

$a, b, c$ を求めた後の頂点の計算は、分数が登場するため丁寧に平方完成を行う必要がある。

答え

$a = 2, b = -3, c = 1$

頂点の座標は $\left(\frac{3}{4}, -\frac{1}{8}\right)$