解説

方針・初手

2次関数の平行移動においては、グラフの形状（$x^2$ の係数）は変化しないことに着目する。移動後のグラフが $x$ 軸と $(3,0), (7,0)$ で交わるという条件から、移動後の 2次関数の方程式を容易に決定できる。その後、元の関数と移動後の関数の頂点の座標を比較して $a, b$ を求めるか、展開式の係数を比較して求めるのが見通しの良い方針である。

解法1

移動後のグラフは $x$ 軸と $(3, 0), (7, 0)$ で交わり、また平行移動によって $x^2$ の係数 $2$ は変化しないため、移動後の 2次関数の方程式は次のように表せる。

$$ y = 2(x - 3)(x - 7) $$

この式を展開し、平方完成して頂点の座標を求める。

$$ \begin{aligned} y &= 2(x^2 - 10x + 21) \\ &= 2x^2 - 20x + 42 \\ &= 2(x^2 - 10x) + 42 \\ &= 2(x - 5)^2 - 50 + 42 \\ &= 2(x - 5)^2 - 8 \end{aligned} $$

したがって、移動後のグラフの頂点の座標は $(5, -8)$ である。

次に、移動前の 2次関数 $y = 2x^2 + 4x$ を平方完成して頂点の座標を求める。

$$ \begin{aligned} y &= 2(x^2 + 2x) \\ &= 2(x + 1)^2 - 2 \end{aligned} $$

移動前のグラフの頂点の座標は $(-1, -2)$ である。

この頂点 $(-1, -2)$ を $x$ 軸方向に $a$、$y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動した点が $(5, -8)$ になるため、以下の関係が成り立つ。

$$ \begin{cases} -1 + a = 5 \\ -2 + b = -8 \end{cases} $$

これを解いて、求める値を得る。

$$ a = 6, \quad b = -6 $$

解法2

移動後のグラフの方程式は、元の関数 $y = 2x^2 + 4x$ を $x$ 軸方向に $a$、$y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動したものであるから、$x$ を $x - a$、$y$ を $y - b$ に置き換えて次のように表せる。

$$ y - b = 2(x - a)^2 + 4(x - a) $$

展開して $x$ について整理する。

$$ \begin{aligned} y &= 2(x^2 - 2ax + a^2) + 4x - 4a + b \\ &= 2x^2 - 4ax + 2a^2 + 4x - 4a + b \\ &= 2x^2 + (4 - 4a)x + (2a^2 - 4a + b) \end{aligned} $$

一方で、移動後のグラフは $x$ 軸と $x=3, 7$ で交わり、$x^2$ の係数は $2$ であるため、方程式は次のようにも表せる。

$$ \begin{aligned} y &= 2(x - 3)(x - 7) \\ &= 2(x^2 - 10x + 21) \\ &= 2x^2 - 20x + 42 \end{aligned} $$

2つの式は同じ 2次関数を表すため、各項の係数が等しくなる。係数を比較して以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} 4 - 4a = -20 \\ 2a^2 - 4a + b = 42 \end{cases} $$

第1式を解く。

$$ -4a = -24 \implies a = 6 $$

これを第2式に代入する。

$$ \begin{aligned} 2(6)^2 - 4(6) + b &= 42 \\ 72 - 24 + b &= 42 \\ 48 + b &= 42 \\ b &= -6 \end{aligned} $$

よって、$a = 6, b = -6$ を得る。

解説

2次関数の平行移動に関する典型問題である。移動前後で放物線の開き具合（$x^2$ の係数）が変わらないことを利用し、与えられた $x$ 切片から速やかに移動後の関数を決定することがポイントである。その後の方針としては、解法1のように「頂点の移動」を追跡する方法と、解法2のように「方程式の係数比較」を行う方法がある。一般的に、頂点の座標を比較する解法1の方が計算量が少なく、計算ミスを防ぎやすい。

答え

$a = 6, \quad b = -6$