解説

方針・初手

放物線の頂点の座標が与えられているため、放物線の方程式を標準形である $y = a(x - p)^2 + q$ で設定する。その後、通る点の座標を代入して未定係数 $a$ を決定する。

解法1

頂点の座標が $(2, 3)$ であるから、求める放物線の方程式は定数 $a$ ($a \neq 0$) を用いて次のように表される。

$$ y = a(x - 2)^2 + 3 $$

この放物線が点 $(1, 5)$ を通るので、$x = 1$、$y = 5$ を代入して、

$$ 5 = a(1 - 2)^2 + 3 $$

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} 5 &= a(-1)^2 + 3 \\ 5 &= a + 3 \\ a &= 2 \end{aligned} $$

となる。したがって、求める放物線の方程式は、

$$ y = 2(x - 2)^2 + 3 $$

である。これを展開して整理すると、

$$ \begin{aligned} y &= 2(x^2 - 4x + 4) + 3 \\ &= 2x^2 - 8x + 8 + 3 \\ &= 2x^2 - 8x + 11 \end{aligned} $$

となる。

解説

放物線の決定問題における基本事項である。与えられた条件によって、スタートの式の置き方を変えることが定石である。

• 頂点や軸が与えられている場合：標準形 $y = a(x - p)^2 + q$ を用いる。
• 3点が与えられている場合：一般形 $y = ax^2 + bx + c$ を用いる。
• $x$軸との交点 $(\alpha, 0), (\beta, 0)$ が与えられている場合：分解形 $y = a(x - \alpha)(x - \beta)$ を用いる。

本問は頂点の座標が直接与えられているため、標準形を用いるのが最も簡明かつ確実である。解答欄の形式によっては $2(x - 2)^2 + 3$ のままでも正解となる場合があるが、特に指定がない場合は展開した一般形で答えることが多い。

答え

$2x^2 - 8x + 11$ (または $2(x - 2)^2 + 3$)