解説

方針・初手

放物線が点 $(-2, 0)$ で $x$ 軸と接するということは、移動後の放物線の頂点が $(-2, 0)$ であることを意味する。頂点の座標の変化に注目して立式するか、移動後の関数の方程式を求めてから $y = 3(x+2)^2$ と係数比較を行うのが定石である。

解法1

元の放物線 $y = 3x^2 + 2ax + a$ の方程式を平方完成し、頂点の座標を求める。

$$ \begin{aligned} y &= 3 \left( x^2 + \frac{2a}{3}x \right) + a \\ &= 3 \left( x + \frac{a}{3} \right)^2 - 3 \left( \frac{a}{3} \right)^2 + a \\ &= 3 \left( x + \frac{a}{3} \right)^2 - \frac{a^2}{3} + a \end{aligned} $$

したがって、元の放物線の頂点の座標は $\left( -\frac{a}{3}, -\frac{a^2}{3} + a \right)$ である。

この放物線を $x$ 軸方向に $a$、$y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動した放物線の頂点の座標は、

$$ \left( -\frac{a}{3} + a, -\frac{a^2}{3} + a + b \right) = \left( \frac{2a}{3}, -\frac{a^2}{3} + a + b \right) $$

となる。

移動後の放物線が点 $(-2, 0)$ で $x$ 軸と接するため、この頂点が点 $(-2, 0)$ と一致する。これにより、以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} \frac{2a}{3} = -2 \\ -\frac{a^2}{3} + a + b = 0 \end{cases} $$

第1式より、

$$ 2a = -6 $$

$$ a = -3 $$

となる。これを第2式に代入して、

$$ -\frac{(-3)^2}{3} + (-3) + b = 0 $$

$$ -\frac{9}{3} - 3 + b = 0 $$

$$ -3 - 3 + b = 0 $$

$$ b = 6 $$

を得る。

解法2

元の放物線 $y = 3x^2 + 2ax + a$ を $x$ 軸方向に $a$、$y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動した放物線の方程式は、$x$ を $x-a$ に、$y$ を $y-b$ に置き換えることで得られる。

$$ y - b = 3(x - a)^2 + 2a(x - a) + a $$

$$ y = 3(x^2 - 2ax + a^2) + 2ax - 2a^2 + a + b $$

$$ y = 3x^2 - 4ax + a^2 + a + b $$

一方、この移動後の放物線は $x^2$ の係数が $3$ であり、点 $(-2, 0)$ で $x$ 軸と接することから、その方程式は次のように表すことができる。

$$ y = 3(x + 2)^2 $$

$$ y = 3x^2 + 12x + 12 $$

2つの式は同じ放物線を表すので、各項の係数を比較して以下の式が成り立つ。

$$ -4a = 12 $$

$$ a^2 + a + b = 12 $$

第1式より、$a = -3$ である。

これを第2式に代入して、

$$ (-3)^2 + (-3) + b = 12 $$

$$ 9 - 3 + b = 12 $$

$$ b = 6 $$

を得る。

解説

放物線が $x$ 軸に接するという条件は、頂点の $y$ 座標が $0$ になることと同値である。本問ではさらに接点の $x$ 座標も与えられているため、実質的に頂点の座標が完全に指定されている問題として扱うことができる。解法1のように図形的な性質（頂点の移動）を追う方法が計算量も少なく簡明であるが、解法2のような数式的な処理（係数比較）でも容易に正答に至る標準的な問題である。

答え

$a = -3$

$b = 6$