解説

方針・初手

放物線 $y = x^2 + x$ を平行移動したものであるから、$x^2$ の係数が $1$ であることに着目する。頂点が直線 $y = 3x$ 上にあるという条件から、頂点の座標を文字で設定し、放物線の方程式を立てる。その後、通る点の条件と原点を通らない条件を用いて、設定した文字の値を決定する。

解法1

求める放物線は $y = x^2 + x$ を平行移動したものであるから、$x^2$ の係数は $1$ である。 また、その頂点は直線 $y = 3x$ 上にあるので、頂点の座標を $(p, 3p)$ とおくことができる。

したがって、求める放物線の方程式は次のように表せる。

$$ y = (x - p)^2 + 3p $$

この放物線が点 $(2, 4)$ を通るから、$x = 2, y = 4$ を代入して、

$$ 4 = (2 - p)^2 + 3p $$

式を整理すると、

$$ \begin{aligned} 4 &= 4 - 4p + p^2 + 3p \\ p^2 - p &= 0 \\ p(p - 1) &= 0 \end{aligned} $$

これより、$p = 0, 1$ である。

**(i)** $p = 0$ のとき

放物線の方程式は $y = x^2$ となる。 このとき、放物線は原点 $(0, 0)$ を通るため、条件に不適である。

**(ii)** $p = 1$ のとき

放物線の方程式は $y = (x - 1)^2 + 3$ となる。 展開すると $y = x^2 - 2x + 4$ である。 $x = 0$ のとき $y = 4$ となり、原点を通らないため、条件に適する。

以上より、求める放物線の方程式は $y = x^2 - 2x + 4$ である。

解説

2次関数の決定問題における典型的な処理である。 平行移動によって $x^2$ の係数が変化しないことを利用し、頂点に関する条件が与えられているため、基本形 $y = a(x - p)^2 + q$ を用いて式を立てるのが定石である。 求めた複数の候補について、最後に「原点を通らない」という条件を用いて解を正しく絞り込めているかがポイントとなる。

答え

$y = x^2 - 2x + 4$