解説

方針・初手

条件 $\angle\text{APB} > 90^\circ$ を内積 $\overrightarrow{\text{PA}} \cdot \overrightarrow{\text{PB}} < 0$ と読み替える。これにより、点 $\text{P}$ が線分 $\text{AB}$ を直径とする球の内部にあることがわかる。 集合 M は、この球の内部と正四面体 $\text{ABCD}$ の表面との共通部分である。空間座標を適切に設定し、正四面体の4つの各面において、球の切り口の円と正三角形との共通領域の面積を計算する。

解法1

空間に座標系を導入する。線分 $\text{AB}$ の中点を原点 $\text{N}(0,0,0)$ とし、$\text{A}(-1, 0, 0)$、$\text{B}(1, 0, 0)$ とする。 正四面体の一辺の長さは 2 である。頂点 $\text{C}$ は $xy$ 平面の $y>0$ の領域にあるとし、$\text{C}(0, \sqrt{3}, 0)$ とする。 $\triangle\text{ABC}$ の重心 $\text{G}$ は $\text{G}\left(0, \frac{\sqrt{3}}{3}, 0\right)$ であり、頂点 $\text{D}$ は $\text{G}$ の真上で $z>0$ にある。$\text{CD} = 2$ より $\text{D}$ の $z$ 座標を求めると、

$$\sqrt{2^2 - \left(\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{4 - \frac{4}{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$$

よって、$\text{D}\left(0, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$ となる。 条件 $\angle\text{APB} > 90^\circ$ は、点 $\text{P}$ が線分 $\text{AB}$ を直径とする球 $K$（中心 $\text{N}$、半径 1）の内部にあることを意味する。

**(1)** 面 $\triangle\text{ABC}$ 上にある M の部分は、点 $\text{P}$ が $xy$ 平面上にあり、かつ球 $K$ の内部にある領域である。これは原点 $\text{N}$ を中心とする半径 1 の円 $C$ の内部と、$\triangle\text{ABC}$ の内部および周との共通部分である。 辺 $\text{AC}, \text{BC}$ の中点をそれぞれ $\text{Q}, \text{R}$ とすると、$\text{A}, \text{B}$ から距離 1 の点であるため、$\text{Q}, \text{R}$ は円 $C$ の周上にある。 $\triangle\text{ANQ}$ と $\triangle\text{BNR}$ は一辺の長さ 1 の正三角形となるため、円 $C$ の弧 $\text{QR}$ に対する中心角 $\angle\text{QNR}$ は、

$$180^\circ - 60^\circ \times 2 = 60^\circ$$

求める領域は、扇形 $\text{NQR}$ と、2つの正三角形 $\triangle\text{ANQ}$、$\triangle\text{BNR}$ を合わせた図形である。 境界については、$\angle\text{APB} > 90^\circ$ より弧 $\text{QR}$ は含まない。線分 $\text{AQ}, \text{BR}, \text{AB}$ 上の点は端点 $\text{A}, \text{B}, \text{Q}, \text{R}$ を除きすべて条件を満たすため領域に含まれる。 図示すると、$\text{A}, \text{Q}, \text{R}, \text{B}$ を結ぶ領域であり、$\text{Q}$ と $\text{R}$ を結ぶ境界線のみが $\text{N}$ を中心とする円弧で内側に湾曲した形となる（弧 $\text{QR}$ のみ破線、他は端点白丸の実線）。 この面積 $S_1$ は、

$$S_1 = (\text{扇形 } \text{NQR}) + \triangle\text{ANQ} + \triangle\text{BNR} = \pi \cdot 1^2 \cdot \frac{60}{360} + 2 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1^2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$

**(2)** 球 $K$ は $\text{AB}$ を直径とするため、対称性より面 $\triangle\text{ABD}$ 上にある M の面積 $S_2$ は $S_1$ と等しい。

$$S_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$

次に、面 $\triangle\text{ACD}$ 上にある M の面積 $S_3$ を求める。 面 $\triangle\text{ACD}$ を含む平面 $\alpha$ の方程式は、$\text{A}, \text{C}, \text{D}$ の座標より $\sqrt{6}x - \sqrt{2}y - z + \sqrt{6} = 0$ と表せる。 球 $K$ の中心 $\text{N}(0,0,0)$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線の足を $\text{H}$ とすると、法線ベクトルを用いて $\text{H}(\sqrt{6}t, -\sqrt{2}t, -t)$ とおける。平面 $\alpha$ 上にあることから、

$$\sqrt{6}(\sqrt{6}t) - \sqrt{2}(-\sqrt{2}t) - (-t) + \sqrt{6} = 0$$

これを解くと $t = -\frac{\sqrt{6}}{9}$ となり、$\text{H}\left(-\frac{2}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{9}, \frac{\sqrt{6}}{9}\right)$ となる。 球 $K$ と平面 $\alpha$ の交わりである切り口の円 $C'$ の半径 $r$ は、

$$r = \sqrt{1^2 - \text{NH}^2} = \sqrt{1 - 9t^2} = \sqrt{1 - \frac{6}{9}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

面 $\triangle\text{ACD}$ の重心 $\text{G}'$ の座標は、$\frac{1}{3}(\text{A} + \text{C} + \text{D}) = \left(-\frac{1}{3}, \frac{4\sqrt{3}}{9}, \frac{2\sqrt{6}}{9}\right)$ である。 $\text{A}$ と $\text{G}'$ の中点を計算すると $\text{H}$ に一致するため、円 $C'$ は線分 $\text{AG}'$ を直径とする円であることがわかる。 円 $C'$ は辺 $\text{AC}, \text{AD}$ とそれぞれの中点 $\text{Q}', \text{R}'$ で交わる。M の領域は円 $C'$ の内部のうち $\triangle\text{ACD}$ の内部にある部分であるため、円 $C'$ から弦 $\text{AQ}'$ および弦 $\text{AR}'$ によって三角形の外部にはみ出す2つの弓形を除外する必要がある。 中心 $\text{H}$ から弦 $\text{AQ}'$ までの距離は $r/2$ であるため、この弓形の中心角は $120^\circ$ である。弓形1つ分の面積 $S_{\text{弓形}}$ は、

$$S_{\text{弓形}} = \pi r^2 \cdot \frac{120}{360} - \frac{1}{2} \cdot \text{AQ}' \cdot \frac{r}{2} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{\pi}{9} - \frac{\sqrt{3}}{12}$$

これより、面積 $S_3$ は、

$$S_3 = \pi r^2 - 2 S_{\text{弓形}} = \frac{\pi}{3} - 2\left(\frac{\pi}{9} - \frac{\sqrt{3}}{12}\right) = \frac{\pi}{9} + \frac{\sqrt{3}}{6}$$

対称性より、面 $\triangle\text{BCD}$ 上の M の面積 $S_4$ も $S_3$ に等しい。

$$S_4 = \frac{\pi}{9} + \frac{\sqrt{3}}{6}$$

したがって、M の全面積 $S$ は、

$$S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 2\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\left(\frac{\pi}{9} + \frac{\sqrt{3}}{6}\right) = \frac{5\pi}{9} + \frac{4\sqrt{3}}{3}$$

解説

$\angle\text{APB} > 90^\circ$ を「線分 $\text{AB}$ を直径とする球の内部」と見なす空間図形の標準的な処理が求められる。 (1) で求めた平面上の図形をもとに、(2) で空間の各面に条件を適用する。特に面 $\triangle\text{ACD}$ 上においては、球と平面の距離から切り口の円を特定し、それが三角形の辺からはみ出す部分（弓形）を正確に処理できるかがカギとなる。空間座標を設定し、法線ベクトル等を用いて計算に落とし込むことで、視覚的な直感による誤りを防ぐことができる。

答え

(1) 図示は、線分 $\text{AQ}$、線分 $\text{BR}$、線分 $\text{AB}$、および $\text{N}$ を中心とする円弧 $\text{QR}$ に囲まれた領域。境界線は弧 $\text{QR}$ と端点 $\text{A}, \text{B}, \text{Q}, \text{R}$ は含まず、他は含む。

面積は $\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\frac{5\pi}{9} + \frac{4\sqrt{3}}{3}$