解説

方針・初手

正四面体の高さと体積の導出は、頂点から底面に下ろした垂線の足が、底面の正三角形の外心（重心）に一致することを利用する。 多面体 $W$ は、正四面体の各辺の中点を結んでできる立体である。この立体は、元の正四面体から、各頂点を含む小さな正四面体を4つ切り落とした残りの部分として捉えることができる。

解法1

**(1)** 正四面体 $V$ の頂点をA、底面の正三角形を $\text{BCD}$ とし、Aから平面 $\text{BCD}$ に下ろした垂線の足をHとする。 対称性から、Hは $\triangle \text{BCD}$ の外心であり、重心でもある。 $\triangle \text{BCD}$ は1辺の長さが $a$ の正三角形であるから、頂点Bから辺CDに下ろした垂線の足をMとすると、

$$ \text{BM} = a \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}a $$

Hは線分BMを $2:1$ に内分する点であるため、

$$ \text{BH} = \frac{2}{3} \text{BM} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}a $$

直角三角形 $\text{ABH}$ において、三平方の定理より、

$$ \text{AH} = \sqrt{\text{AB}^2 - \text{BH}^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{1}{3}a^2} = \sqrt{\frac{2}{3}}a = \frac{\sqrt{6}}{3}a $$

したがって、三角錐としての $V$ の高さは $\frac{\sqrt{6}}{3}a$ である。

**(2)** 底面である $\triangle \text{BCD}$ の面積を $S$ とすると、

$$ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 $$

$V$ の体積を $v$ とすると、

$$ v = \frac{1}{3} \cdot S \cdot \text{AH} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}a = \frac{\sqrt{18}}{36}a^3 = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3 $$

**(3)** （概形の描き方の手順を記述する） まず、正四面体 $V$ の概形を描く。次に、$V$ を構成する6つの辺のそれぞれの中点に印をつける。最後に、$V$ の各面において、その面に含まれる3つの中点を線分で結ぶと、多面体 $W$ の概形が描ける。

$W$ の各面は、1辺の長さが $\frac{a}{2}$ の正三角形である。$V$ の各面の中点を結んでできる4つの正三角形と、各頂点を切り落とした断面として現れる4つの正三角形の、合計8つの合同な正三角形で囲まれている。また、どの頂点にも4つの正三角形が集まっている。 したがって、$W$ は正八面体である。

**(4)** $W$ は、正四面体 $V$ から、4つの頂点をそれぞれ含む小さな正四面体（1辺の長さが $\frac{a}{2}$）を4つ取り除いた立体である。 切り落とす小さな正四面体と元の正四面体 $V$ は相似であり、その相似比は $1:2$ である。 したがって、体積比は $1^3 : 2^3 = 1 : 8$ となる。 小さな正四面体1つの体積は $\frac{1}{8}v$ である。 $W$ の体積は、$V$ の体積 $v$ から小さな正四面体4つ分の体積を引いたものに等しいので、

$$ (\text{$W$の体積}) = v - 4 \times \frac{1}{8}v = v - \frac{1}{2}v = \frac{1}{2}v $$

よって、求める体積は、

$$ \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{12}a^3 = \frac{\sqrt{2}}{24}a^3 $$

解法2

**(4)の別解** (3)より、$W$ は1辺の長さが $\frac{a}{2}$ の正八面体である。 この正八面体を、1辺の長さが $\frac{a}{2}$ の正方形を底面とする合同な2つの正四角錐に分割して考える。 この正四角錐の高さを $h$ とすると、$h$ は底面の正方形の対角線の長さの半分に等しい（または三平方の定理から求められる）。 底面の正方形の対角線の長さは $\frac{a}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}a$ であるから、その半分は $\frac{\sqrt{2}}{4}a$ である。 したがって、この正四角錐の高さを斜辺から求めると、

$$ h = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}a\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} - \frac{2a^2}{16}} = \sqrt{\frac{a^2}{8}} = \frac{\sqrt{2}}{4}a $$

正四角錐1つ分の体積は、

$$ \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}a = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}a = \frac{\sqrt{2}}{48}a^3 $$

$W$ の体積はこの正四角錐の体積の2倍であるから、

$$ 2 \times \frac{\sqrt{2}}{48}a^3 = \frac{\sqrt{2}}{24}a^3 $$

解説

(1)と(2)は正四面体の計量における最も基本的な処理である。垂線の足の位置関係や三平方の定理を正しく適用できるかが問われている。 (3)は空間図形の把握能力を試す問題である。正四面体の各辺の中点を結んでできる多面体が正八面体になることは有名な性質であり、覚えておくと見通しが良い。 (4)は、正八面体の体積を直接計算するよりも、解法1のように「全体から不要な部分を引く」という方針（相似比と体積比の関係を利用）をとる方が、計算量が少なくミスも減るため推奨される。

答え

(1) $\frac{\sqrt{6}}{3}a$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$

(3) 正四面体の各辺の中点を結んでできる概形を描く。多面体としての名称は 正八面体

(4) $\frac{\sqrt{2}}{24}a^3$