解説

方針・初手

与えられた四面体は、点Oを頂点とする3つの面がすべて直角三角形である。$\text{OA} = a, \text{OB} = b, \text{OC} = c$ とおくことで、3つの直角三角形の面積から $a, b, c$ の関係式を導くことができる。 体積は、面BOCを底面とし、OAを高さとみることで求められる。 点Oから平面ABCへの距離については、四面体の体積と $\triangle \text{ABC}$ の面積の関係 $V = \frac{1}{3} \cdot \triangle \text{ABC} \cdot h$ を利用する。

解法1

$\text{OA} = a, \text{OB} = b, \text{OC} = c$ とおく。

条件 $\angle \text{BOC} = \angle \text{COA} = \angle \text{AOB} = 90^\circ$ より、$\triangle \text{BOC}, \triangle \text{COA}, \triangle \text{AOB}$ はいずれも直角三角形である。 それぞれの面積についての条件から、以下の式が成り立つ。

$$ \frac{1}{2}bc = 2 \iff bc = 4 $$

$$ \frac{1}{2}ca = 2\sqrt{2} \iff ca = 4\sqrt{2} $$

$$ \frac{1}{2}ab = \sqrt{2} \iff ab = 2\sqrt{2} $$

これら3つの式の辺々を掛け合わせると、

$$ (abc)^2 = 4 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 64 $$

$a,b,c > 0$ であるから、

$$ abc = 8 $$

四面体OABCの体積 $V$ は、$\triangle \text{BOC}$ を底面とすると、$\text{OA} \perp \text{面BOC}$ であるため高さは $a$ となる。したがって、

$$ V = \frac{1}{3} \cdot \triangle \text{BOC} \cdot \text{OA} = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot a $$

ここで、$bc=4$ と $abc=8$ から $a=2$ がわかるので、これを代入する。

$$ V = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2 = \frac{4}{3} $$

次に、点Oから平面ABCへ下ろした垂線の長さを $h$ とする。 $\triangle \text{ABC}$ を底面とみなすと、体積 $V$ は以下のようにも表せる。

$$ V = \frac{1}{3} \cdot \triangle \text{ABC} \cdot h $$

$\triangle \text{ABC}$ の面積を求めるために、まず各辺の長さを求める。 $abc = 8$ と各面積の式から、$b = \sqrt{2}, c = 2\sqrt{2}$ が得られる。

直角三角形 $\triangle \text{AOB}, \triangle \text{BOC}, \triangle \text{COA}$ に三平方の定理を用いて、

$$ \text{AB}^2 = a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{2})^2 = 6 $$

$$ \text{BC}^2 = b^2 + c^2 = (\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 10 $$

$$ \text{CA}^2 = c^2 + a^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 = 12 $$

$\triangle \text{ABC}$ において余弦定理を用いると、

$$ \cos \angle \text{BAC} = \frac{\text{CA}^2 + \text{AB}^2 - \text{BC}^2}{2 \cdot \text{CA} \cdot \text{AB}} = \frac{12 + 6 - 10}{2\sqrt{12}\sqrt{6}} = \frac{8}{2 \cdot 6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3} $$

$\sin \angle \text{BAC} > 0$ より、

$$ \sin \angle \text{BAC} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3} $$

よって、$\triangle \text{ABC}$ の面積は、

$$ \triangle \text{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \text{CA} \cdot \text{AB} \cdot \sin \angle \text{BAC} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} = \sqrt{14} $$

先ほどの体積の式に代入して、

$$ \frac{4}{3} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{14} \cdot h $$

$$ \sqrt{14} h = 4 $$

$$ h = \frac{4}{\sqrt{14}} = \frac{2\sqrt{14}}{7} $$

解法2

空間座標を導入し、ベクトルを用いて $\triangle \text{ABC}$ の面積を求める。

点Oを原点 $(0, 0, 0)$ とし、$\text{OA}, \text{OB}, \text{OC}$ がそれぞれ $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸の正の方向と一致するように座標軸を設定する。 解法1と同様に $a=2, b=\sqrt{2}, c=2\sqrt{2}$ であるから、各頂点の座標は $\text{A}(2, 0, 0), \text{B}(0, \sqrt{2}, 0), \text{C}(0, 0, 2\sqrt{2})$ と表せる。

$\vec{\text{AB}}$ と $\vec{\text{AC}}$ はそれぞれ以下のようになる。

$$ \vec{\text{AB}} = (-2, \sqrt{2}, 0) $$

$$ \vec{\text{AC}} = (-2, 0, 2\sqrt{2}) $$

これらの大きさの2乗と内積は、

$$ |\vec{\text{AB}}|^2 = (-2)^2 + (\sqrt{2})^2 + 0^2 = 6 $$

$$ |\vec{\text{AC}}|^2 = (-2)^2 + 0^2 + (2\sqrt{2})^2 = 12 $$

$$ \vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}} = (-2) \cdot (-2) + \sqrt{2} \cdot 0 + 0 \cdot 2\sqrt{2} = 4 $$

ベクトルの面積公式より、$\triangle \text{ABC}$ の面積は、

$$ \triangle \text{ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{\text{AB}}|^2 |\vec{\text{AC}}|^2 - (\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}})^2} $$

$$ = \frac{1}{2} \sqrt{6 \cdot 12 - 4^2} = \frac{1}{2} \sqrt{72 - 16} = \frac{1}{2} \sqrt{56} = \sqrt{14} $$

以後の計算は解法1と同様であり、体積 $V = \frac{4}{3}$ から高さ $h = \frac{2\sqrt{14}}{7}$ を得る。

解説

直角に交わる3つの線分を持つ四面体（直角三角錐などと呼ばれることもある）の体積と高さを求める典型問題である。 直角に交わる頂点Oを基準に、各辺の長さを文字で置くことで見通し良く計算できる。

また、点Oから平面ABCへの距離を求めるために、「体積を2通りの方法で表す」という手法は空間図形における非常に重要なアプローチである。底面を $\triangle \text{ABC}$ とみたときの面積は、余弦定理やベクトルの公式を用いることで確実に計算できる。

なお、四平方の定理（直角四面体において、$\triangle \text{ABC}^2 = \triangle \text{OAB}^2 + \triangle \text{OBC}^2 + \triangle \text{OCA}^2$ が成り立つ）を知っていれば、$\triangle \text{ABC} = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 8 + 2} = \sqrt{14}$ と一瞬で計算することも可能である。

答え

[ア] $\frac{4}{3}$

[イ] $\frac{2\sqrt{14}}{7}$