解説

方針・初手

**(1)** については、正五角形の内角が $108^\circ$ であることを利用し、二等辺三角形の内角を計算して $\angle \text{CAD}$ を求める。その余弦は倍角・三倍角の公式などから算出し、対角線 $\text{AC}$ の長さは余弦定理を用いて求める。

**(2)** については、2つの平面が垂直であるという条件から、点 $\text{P}$ から平面 $\text{ACDE}$ に下ろした垂線の足 $\text{P}'$ が直線 $\text{AC}$ 上にくることに着目する。三垂線の定理を用いて空間の三角形の面積を平面 $\text{ACDE}$ 上の面積条件に帰着させることで、計算の負担を大幅に減らすことができる。

解法1

**(1)**

正五角形の内角の和は $180^\circ \times (5-2) = 540^\circ$ であり、1つの内角は $540^\circ \div 5 = 108^\circ$ である。

$\triangle \text{ABC}$ は $\text{AB}=\text{BC}=1$ の二等辺三角形であるから、 $$ \angle \text{BAC} = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ $$ 同様に、$\triangle \text{ADE}$ においても $\text{AE}=\text{AD}=1$ （問題文の図では辺 $\text{ED}$ が正五角形の辺となるため、正しくは $\text{AE}=\text{ED}=1$ の誤りではなく $\text{AE}=\text{DE}=1$。頂点の順序に注意すると、$\text{EA}=\text{ED}=1$ が正しい。） 正五角形の辺より $\text{EA}=\text{ED}=1$ であり、$\angle \text{E} = 108^\circ$ の二等辺三角形であるから、 $$ \angle \text{EAD} = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ $$ よって、 $$ \angle \text{CAD} = \angle \text{A} - \angle \text{BAC} - \angle \text{EAD} = 108^\circ - 36^\circ - 36^\circ = 36^\circ $$

次に、$\cos 36^\circ$ を求める。 $\theta = 36^\circ$ とおくと、$5\theta = 180^\circ$ より $2\theta = 180^\circ - 3\theta$ である。 両辺の正弦をとると、 $$ \sin 2\theta = \sin(180^\circ - 3\theta) = \sin 3\theta $$ 倍角および三倍角の公式より、 $$ 2\sin\theta\cos\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta $$ $\sin 36^\circ \neq 0$ であるから、両辺を $\sin\theta$ で割ると、 $$ 2\cos\theta = 3 - 4\sin^2\theta $$ $$ 2\cos\theta = 3 - 4(1-\cos^2\theta) $$ $$ 4\cos^2\theta - 2\cos\theta - 1 = 0 $$ $\cos 36^\circ > 0$ であるから、これを解いて $$ \cos 36^\circ = \frac{1+\sqrt{5}}{4} $$ ゆえに、$\cos \angle \text{CAD} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ である。

対角線 $\text{AC}$ の長さを求める。 $\triangle \text{ABC}$ において余弦定理を用いる。 $$ \text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 - 2 \cdot \text{AB} \cdot \text{BC} \cos 108^\circ $$ ここで、$\cos 108^\circ = -\cos 72^\circ = -(2\cos^2 36^\circ - 1)$ であるから、 $$ \cos 108^\circ = 1 - 2\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{6+2\sqrt{5}}{16} = 1 - \frac{3+\sqrt{5}}{4} = \frac{1-\sqrt{5}}{4} $$ よって、 $$ \text{AC}^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \left( \frac{1-\sqrt{5}}{4} \right) = 2 - \frac{1-\sqrt{5}}{2} = \frac{3+\sqrt{5}}{2} = \frac{6+2\sqrt{5}}{4} $$ $\text{AC} > 0$ より、 $$ \text{AC} = \frac{\sqrt{5}+1}{2} $$

**(2)**

平面 $\text{ABC}$ と平面 $\text{ACDE}$ は直線 $\text{AC}$ で交わり、かつ直交している。 点 $\text{P}$ は線分 $\text{AB}$ 上にあるので、$\text{AP} = t \ (0 \le t \le 1)$ とおく。 点 $\text{P}$ から平面 $\text{ACDE}$ に下ろした垂線の足を $\text{P}'$ とすると、平面 $\text{ABC} \perp$ 平面 $\text{ACDE}$ であるから、$\text{P}'$ は直線 $\text{AC}$ 上にある。 $\text{P}$ の平面 $\text{ACDE}$ からの距離を $h = \text{PP}'$ とする。

平面 $\text{ACDE}$ において、$\text{P}'$ から直線 $\text{CD}$、直線 $\text{DE}$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $\text{H}_1, \text{H}_2$ とする。 三垂線の定理より、$\text{PH}_1 \perp \text{CD}$, $\text{PH}_2 \perp \text{DE}$ となる。 正五角形の辺の長さより $\text{CD} = \text{DE} = 1$ であるから、$\triangle \text{PCD}$ と $\triangle \text{PDE}$ の面積はそれぞれ、 $$ \triangle \text{PCD} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \text{PH}_1 = \frac{1}{2} \text{PH}_1 $$ $$ \triangle \text{PDE} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \text{PH}_2 = \frac{1}{2} \text{PH}_2 $$ 面積が等しいという条件から $\text{PH}_1 = \text{PH}_2$ が成り立つ。 直角三角形 $\text{PP}'\text{H}_1$ と $\text{PP}'\text{H}_2$ において、三平方の定理より $$ \text{PH}_1^2 = \text{P}'\text{H}_1^2 + h^2 $$ $$ \text{PH}_2^2 = \text{P}'\text{H}_2^2 + h^2 $$ これらより、$\text{P}'\text{H}_1 = \text{P}'\text{H}_2$ が得られる。 したがって、平面 $\text{ACDE}$ における $\triangle \text{P}'\text{CD}$ と $\triangle \text{P}'\text{DE}$ の面積についても $$ \triangle \text{P}'\text{CD} = \frac{1}{2} \cdot \text{CD} \cdot \text{P}'\text{H}_1 = \frac{1}{2} \cdot \text{DE} \cdot \text{P}'\text{H}_2 = \triangle \text{P}'\text{DE} $$ と同値になる。

次に、四角形 $\text{ACDE}$ の形状を考える。 $\triangle \text{ABC}$ において $\angle \text{BCA} = 36^\circ$ であり、正五角形の内角より $\angle \text{C} = 108^\circ$ であるから、$\angle \text{ACD} = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ$ である。 また $\angle \text{CDE} = 108^\circ$ である。 同側内角の和が $\angle \text{ACD} + \angle \text{CDE} = 72^\circ + 108^\circ = 180^\circ$ となるため、$\text{AC} \parallel \text{DE}$ である。 すなわち、四角形 $\text{ACDE}$ は台形である。この台形の高さを $h_0$ とする。

点 $\text{P}'$ は直線 $\text{AC}$ 上にあるため、底辺を $\text{DE}$ とみたときの $\triangle \text{P}'\text{DE}$ の高さは台形の高さ $h_0$ に等しい。 よって、 $$ \triangle \text{P}'\text{DE} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot h_0 = \frac{1}{2} h_0 $$

一方、平面 $\text{ABC}$ において考える。 $\triangle \text{ABC}$ は $\text{AB}=\text{BC}$ の二等辺三角形であるから、$\text{B}$ から辺 $\text{AC}$ に下ろした垂線の足 $\text{M}$ は $\text{AC}$ の中点である。 $\text{P}'$ は $\text{P}$ から $\text{AC}$ に下ろした垂線の足であり、$\text{AP} : \text{AB} = t : 1$ であるから、$\triangle \text{APP}' \sim \triangle \text{ABM}$ より $$ \text{AP}' = t \cdot \text{AM} = t \cdot \frac{\text{AC}}{2} = \frac{t}{2} \text{AC} $$ となる。ここで $x = \text{AC} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ とすると、線分 $\text{P}'\text{C}$ の長さは $$ \text{P}'\text{C} = x - \frac{t}{2}x = x \left( 1 - \frac{t}{2} \right) $$ である。 $\triangle \text{P}'\text{CD}$ は、底辺を線分 $\text{P}'\text{C}$ とみると、頂点 $\text{D}$ から直線 $\text{AC}$ までの距離も台形の高さ $h_0$ に等しいため、 $$ \triangle \text{P}'\text{CD} = \frac{1}{2} \cdot x \left( 1 - \frac{t}{2} \right) \cdot h_0 $$

$\triangle \text{P}'\text{CD} = \triangle \text{P}'\text{DE}$ より、 $$ \frac{1}{2} x \left( 1 - \frac{t}{2} \right) h_0 = \frac{1}{2} h_0 $$ $h_0 > 0$ であるから、両辺を $\frac{1}{2} h_0$ で割り、 $$ x \left( 1 - \frac{t}{2} \right) = 1 $$ $$ 1 - \frac{t}{2} = \frac{1}{x} $$ ここで、$\frac{1}{x} = \frac{2}{\sqrt{5}+1} = \frac{2(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ であるから、 $$ \frac{t}{2} = 1 - \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{3-\sqrt{5}}{2} $$ $$ t = 3 - \sqrt{5} $$ これは $0 \le t \le 1$ を満たす。ゆえに、求める線分 $\text{AP}$ の長さは $3 - \sqrt{5}$ である。

解法2

**(1)における $\text{AC}$ の長さおよび余弦の図形的な求め方**

正五角形の対角線 $\text{AC}$ と $\text{BD}$ の交点を $\text{F}$ とする。 $\triangle \text{ABC}$ と $\triangle \text{FAB}$ において、内角の計算から $\angle \text{BAC} = \angle \text{BCA} = 36^\circ$ である。 同様に $\triangle \text{BCD}$ において $\angle \text{CBD} = \angle \text{CDB} = 36^\circ$ である。 よって $\angle \text{ABF} = \angle \text{ABC} - \angle \text{CBD} = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ$ となる。 $\triangle \text{FAB}$ において、残りの角は $\angle \text{AFB} = 180^\circ - (36^\circ + 72^\circ) = 72^\circ$ であるから、$\text{AB} = \text{AF} = 1$ の二等辺三角形である。 また、2角が等しいことから $\triangle \text{ABC} \sim \triangle \text{FAB}$ である。

$x = \text{AC}$ とおくと、$\text{FC} = \text{AC} - \text{AF} = x - 1$ である。 $\triangle \text{FBC}$ において $\angle \text{FBC} = 36^\circ, \angle \text{FCB} = 36^\circ$ より $\text{FB} = \text{FC} = x - 1$ である。 相似比より $\text{AC} : \text{AB} = \text{AB} : \text{FB}$ であるから、 $$ x : 1 = 1 : (x-1) $$ $$ x(x-1) = 1 $$ $$ x^2 - x - 1 = 0 $$ $x > 0$ より $x = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$、すなわち $\text{AC} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ である。

次に、$\triangle \text{ACD}$ は $\text{AC}=\text{AD}=x, \text{CD}=1$ の二等辺三角形である。 余弦定理より、 $$ \text{CD}^2 = \text{AC}^2 + \text{AD}^2 - 2 \cdot \text{AC} \cdot \text{AD} \cos \angle \text{CAD} $$ $$ 1 = 2x^2 (1 - \cos \angle \text{CAD}) $$ ここで $x^2 = x+1 = \frac{\sqrt{5}+3}{2}$ であるから、 $$ 1 - \cos \angle \text{CAD} = \frac{1}{2x^2} = \frac{1}{\sqrt{5}+3} = \frac{3-\sqrt{5}}{4} $$ $$ \cos \angle \text{CAD} = 1 - \frac{3-\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}+1}{4} $$ これより角 $\text{CAD}$ も $36^\circ$ であることが分かる。 **(2)については解法1と同様であるため省略する。**

解説

正五角形の中に現れる黄金比に関する頻出テーマである。対角線の長さや余弦の計算は、入試数学において暗算レベルで引き出せるようにしておくと見通しが良くなる。

(2)は空間図形の面積条件を扱う問題であるが、空間座標を設定して直接面積を計算しようとすると式が非常に複雑になる。平面 $\text{ABC}$ と平面 $\text{ACDE}$ が直交していることを活かし、三垂線の定理を用いて「空間内の点 $\text{P}$ からの距離」を「平面上の正射影 $\text{P}'$ からの距離」にすり替えるのが最大のポイントである。

答え

**(1)** 角 $\text{CAD} = 36^\circ$, その余弦は $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$, $\text{AC} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$

**(2)** $\text{AP} = 3-\sqrt{5}$