解説

方針・初手

正四面体の各面が1辺の長さ $6$ の正三角形であることに着目する。立体図形のまま考えるのではなく、各面（$\triangle\text{ACD}$、$\triangle\text{ABC}$、$\triangle\text{BCD}$）などの平面図形を取り出して、三平方の定理や余弦定理を用いて必要な線分の長さを求める。3辺の長さが求まれば、再び余弦定理を用いることで角度の余弦（$\cos\theta$）が得られ、そこから正弦（$\sin\theta$）を求めて三角形の面積を計算できる。また、空間ベクトルを用いて機械的に計算を進めることも有効な方針である。

解法1

**(1)**

$\triangle\text{ACD}$ は1辺の長さが $6$ の正三角形であり、点 $\text{M}$ は辺 $\text{CD}$ の中点であるから、直線 $\text{AM}$ と直線 $\text{CD}$ は垂直に交わる。よって、直角三角形 $\text{ACM}$ において三平方の定理を用いるか、正三角形の高さの公式より、

$$ \text{AM} = 6 \sin 60^\circ = 3\sqrt{3} $$

となる。

次に、点 $\text{E}$ は辺 $\text{BC}$ を $1:2$ に内分する点であるから、

$$ \text{BE} = 6 \times \frac{1}{3} = 2, \quad \text{CE} = 6 \times \frac{2}{3} = 4 $$

である。

$\triangle\text{ABE}$ において、余弦定理を適用すると、

$$ \begin{aligned} \text{AE}^2 &= \text{AB}^2 + \text{BE}^2 - 2 \cdot \text{AB} \cdot \text{BE} \cos 60^\circ \\ &= 6^2 + 2^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 36 + 4 - 12 \\ &= 28 \end{aligned} $$

$\text{AE} > 0$ より、$\text{AE} = 2\sqrt{7}$ である。

同様に、$\triangle\text{ECM}$ において余弦定理を適用すると、$\text{CM} = 3$ であるから、

$$ \begin{aligned} \text{EM}^2 &= \text{CE}^2 + \text{CM}^2 - 2 \cdot \text{CE} \cdot \text{CM} \cos 60^\circ \\ &= 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 16 + 9 - 12 \\ &= 13 \end{aligned} $$

$\text{EM} > 0$ より、$\text{EM} = \sqrt{13}$ である。

**(2)**

$\triangle\text{AEM}$ の3辺の長さが求まったので、余弦定理を用いて $\cos\theta$ を求める。

$$ \begin{aligned} \cos\theta &= \frac{\text{AE}^2 + \text{AM}^2 - \text{EM}^2}{2 \cdot \text{AE} \cdot \text{AM}} \\ &= \frac{28 + 27 - 13}{2 \cdot 2\sqrt{7} \cdot 3\sqrt{3}} \\ &= \frac{42}{12\sqrt{21}} \\ &= \frac{7}{2\sqrt{21}} \\ &= \frac{\sqrt{21}}{6} \end{aligned} $$

**(3)**

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ より $\sin\theta > 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} \sin\theta &= \sqrt{1 - \cos^2\theta} \\ &= \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{21}}{6}\right)^2} \\ &= \sqrt{1 - \frac{21}{36}} \\ &= \sqrt{\frac{15}{36}} \\ &= \frac{\sqrt{15}}{6} \end{aligned} $$

よって、$\triangle\text{AEM}$ の面積 $S$ は、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \cdot \text{AE} \cdot \text{AM} \sin\theta \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{7} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{6} \\ &= \sqrt{21} \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{315}}{2} \\ &= \frac{3\sqrt{35}}{2} \end{aligned} $$

となる。

解法2

**(1)**

$\vec{b} = \overrightarrow{\text{AB}}, \vec{c} = \overrightarrow{\text{AC}}, \vec{d} = \overrightarrow{\text{AD}}$ とおく。正四面体の性質より、

$$ |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = 6 $$

であり、それぞれのなす角は $60^\circ$ であるから、内積は、

$$ \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{d} \cdot \vec{b} = 6 \times 6 \times \cos 60^\circ = 18 $$

となる。

点 $\text{E}$ は辺 $\text{BC}$ を $1:2$ に内分し、点 $\text{M}$ は辺 $\text{CD}$ の中点であるから、

$$ \overrightarrow{\text{AE}} = \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3}, \quad \overrightarrow{\text{AM}} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} $$

と表せる。

これらを用いて長さを計算する。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{\text{AE}}|^2 &= \frac{1}{9} |2\vec{b} + \vec{c}|^2 \\ &= \frac{1}{9} (4|\vec{b}|^2 + 4\vec{b} \cdot \vec{c} + |\vec{c}|^2) \\ &= \frac{1}{9} (4 \times 36 + 4 \times 18 + 36) \\ &= \frac{252}{9} \\ &= 28 \end{aligned} $$

よって、$\text{AE} = 2\sqrt{7}$ である。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{\text{AM}}|^2 &= \frac{1}{4} |\vec{c} + \vec{d}|^2 \\ &= \frac{1}{4} (|\vec{c}|^2 + 2\vec{c} \cdot \vec{d} + |\vec{d}|^2) \\ &= \frac{1}{4} (36 + 2 \times 18 + 36) \\ &= \frac{108}{4} \\ &= 27 \end{aligned} $$

よって、$\text{AM} = 3\sqrt{3}$ である。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{\text{EM}} &= \overrightarrow{\text{AM}} - \overrightarrow{\text{AE}} \\ &= \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} - \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3} \\ &= \frac{-4\vec{b} + \vec{c} + 3\vec{d}}{6} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{\text{EM}}|^2 &= \frac{1}{36} |-4\vec{b} + \vec{c} + 3\vec{d}|^2 \\ &= \frac{1}{36} (16|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 9|\vec{d}|^2 - 8\vec{b} \cdot \vec{c} + 6\vec{c} \cdot \vec{d} - 24\vec{b} \cdot \vec{d}) \\ &= \frac{1}{36} (16 \times 36 + 36 + 9 \times 36 - 8 \times 18 + 6 \times 18 - 24 \times 18) \\ &= \frac{1}{36} (576 + 36 + 324 - 144 + 108 - 432) \\ &= \frac{468}{36} \\ &= 13 \end{aligned} $$

よって、$\text{EM} = \sqrt{13}$ である。

**(2)**

$\overrightarrow{\text{AE}}$ と $\overrightarrow{\text{AM}}$ の内積を計算する。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{\text{AE}} \cdot \overrightarrow{\text{AM}} &= \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3} \cdot \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} \\ &= \frac{1}{6} (2\vec{b} \cdot \vec{c} + 2\vec{b} \cdot \vec{d} + |\vec{c}|^2 + \vec{c} \cdot \vec{d}) \\ &= \frac{1}{6} (2 \times 18 + 2 \times 18 + 36 + 18) \\ &= \frac{126}{6} \\ &= 21 \end{aligned} $$

内積の定義より、

$$ \begin{aligned} \cos\theta &= \frac{\overrightarrow{\text{AE}} \cdot \overrightarrow{\text{AM}}}{|\overrightarrow{\text{AE}}| |\overrightarrow{\text{AM}}|} \\ &= \frac{21}{2\sqrt{7} \cdot 3\sqrt{3}} \\ &= \frac{21}{6\sqrt{21}} \\ &= \frac{\sqrt{21}}{6} \end{aligned} $$

**(3)**

ベクトルの三角形の面積公式を用いる。

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{\text{AE}}|^2 |\overrightarrow{\text{AM}}|^2 - (\overrightarrow{\text{AE}} \cdot \overrightarrow{\text{AM}})^2} \\ &= \frac{1}{2} \sqrt{28 \times 27 - 21^2} \\ &= \frac{1}{2} \sqrt{756 - 441} \\ &= \frac{1}{2} \sqrt{315} \\ &= \frac{3\sqrt{35}}{2} \end{aligned} $$

解説

正四面体の計量に関する基本的な問題である。各面が正三角形であることを利用して平面図形として辺の長さを求める図形的な解法と、1つの頂点から伸びる3つのベクトルを基底として計算を進めるベクトルによる解法のどちらでも見通しよく解くことができる。ベクトルによる解法は計算量が多くなる傾向があるが、内積や面積の計算において機械的に処理できるメリットがある。図形的な解法では、立体のまま考えるのではなく、必要な平面（各面や断面）を正確に取り出して考えることが重要である。

答え

**(1)** $\text{AM} = 3\sqrt{3}$, $\text{AE} = 2\sqrt{7}$, $\text{EM} = \sqrt{13}$

**(2)** $\cos\theta = \frac{\sqrt{21}}{6}$

**(3)** $\frac{3\sqrt{35}}{2}$