解説

方針・初手

展開図を組み立てたときの頂点の重なりを考え、組み立て後の三角錐の各辺の長さを求める。底面を直角三角形 $\text{ABC}$ とし、頂点からの垂線の長さを座標空間の導入、またはベクトルの内積を用いて計算して体積を求める。

解法1

展開図を組み立ててできる三角錐を $\text{P-ABC}$ とし、展開図の頂点 $\text{D}, \text{E}, \text{F}$ が組み立て後に頂点 $\text{P}$ に重なるとする。 重なる辺の長さは等しいから、$\text{AD} = \text{AE}$、$\text{BF} = \text{BE}$、$\text{CD} = \text{CF}$ である。 $\triangle\text{ABE}$ は正三角形であり、$\text{AB}=4$ であるから、$\text{AE} = \text{BE} = 4$ となる。 よって、組み立て後の三角錐において、$\text{PA} = \text{AD} = 4$、$\text{PB} = \text{BF} = 4$ である。 また、$\triangle\text{ACD}$ において $\angle\text{ACD} = 90^\circ$ であり、$\text{AD}=4$、$\text{AC}=3$ であるから、三平方の定理より $$\text{CD} = \sqrt{\text{AD}^2 - \text{AC}^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$$ よって、$\text{PC} = \sqrt{7}$ である。

さらに、$\triangle\text{ABC}$ は $\text{AB}=4, \text{AC}=3, \text{BC}=5$ より $\text{AB}^2 + \text{AC}^2 = \text{BC}^2$ が成り立つため、$\angle\text{BAC} = 90^\circ$ の直角三角形である。 ここで、点 $\text{A}$ を原点 $(0,0,0)$ とし、$\text{A}$ から $\text{B}$ の方向を $x$ 軸の正の向き、$\text{A}$ から $\text{C}$ の方向を $y$ 軸の正の向きとする座標空間を設定する。 各頂点の座標は $\text{A}(0,0,0), \text{B}(4,0,0), \text{C}(0,3,0)$ と表せる。 頂点 $\text{P}$ の座標を $(x,y,z)$ （ただし $z>0$）とおく。

$\text{PA}^2 = 16$ より $$x^2 + y^2 + z^2 = 16 \quad \cdots (1)$$

$\text{PB}^2 = 16$ より $$(x-4)^2 + y^2 + z^2 = 16 \quad \cdots (2)$$

$\text{PC}^2 = 7$ より $$x^2 + (y-3)^2 + z^2 = 7 \quad \cdots (3)$$

(1) と (2) の辺々を引くと $$x^2 - (x-4)^2 = 0 \iff 8x - 16 = 0 \iff x = 2$$

(1) と (3) の辺々を引くと $$y^2 - (y-3)^2 = 9 \iff 6y - 9 = 9 \iff y = 3$$

これらを (1) に代入すると $$2^2 + 3^2 + z^2 = 16 \iff z^2 = 3$$

$z>0$ より $z = \sqrt{3}$ である。 したがって、頂点 $\text{P}$ から底面 $\text{ABC}$ に下ろした垂線の長さ（三角錐の高さ）は $\sqrt{3}$ である。 底面 $\triangle\text{ABC}$ の面積 $S$ は $$S = \frac{1}{2} \cdot \text{AB} \cdot \text{AC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$$

よって、求める体積 $V$ は $$V = \frac{1}{3} S z = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$

解法2

展開図を組み立てたときの各辺の長さが $\text{PA}=4, \text{PB}=4, \text{PC}=\sqrt{7}$ であり、底面 $\triangle\text{ABC}$ が $\angle\text{BAC}=90^\circ$ の直角三角形となることは解法1と同様である。

頂点 $\text{P}$ から底面 $\text{ABC}$ に下ろした垂線の足を $\text{H}$ とすると、点 $\text{H}$ は平面 $\text{ABC}$ 上にあるため、実数 $s, t$ を用いて $$\overrightarrow{\text{AH}} = s\overrightarrow{\text{AB}} + t\overrightarrow{\text{AC}}$$ と表せる。$\angle\text{BAC}=90^\circ$ より $\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0$ である。 また、$\overrightarrow{\text{PH}} \perp \text{平面}\text{ABC}$ より、$\overrightarrow{\text{PH}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0$ および $\overrightarrow{\text{PH}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0$ である。

$\overrightarrow{\text{PB}} = \overrightarrow{\text{AB}} - \overrightarrow{\text{AP}}$ より $$|\overrightarrow{\text{PB}}|^2 = |\overrightarrow{\text{AB}}|^2 - 2\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AP}} + |\overrightarrow{\text{AP}}|^2$$ $16 = 16 - 2\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AP}} + 16$ より $\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AP}} = 8$ となる。 ここで、$\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = (\overrightarrow{\text{AH}} + \overrightarrow{\text{HP}}) \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{AH}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}}$ であるから、 $$(s\overrightarrow{\text{AB}} + t\overrightarrow{\text{AC}}) \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = s|\overrightarrow{\text{AB}}|^2 = 16s = 8 \iff s = \frac{1}{2}$$

同様に、$\overrightarrow{\text{PC}} = \overrightarrow{\text{AC}} - \overrightarrow{\text{AP}}$ より $$|\overrightarrow{\text{PC}}|^2 = |\overrightarrow{\text{AC}}|^2 - 2\overrightarrow{\text{AC}} \cdot \overrightarrow{\text{AP}} + |\overrightarrow{\text{AP}}|^2$$ $7 = 9 - 2\overrightarrow{\text{AC}} \cdot \overrightarrow{\text{AP}} + 16$ より $2\overrightarrow{\text{AC}} \cdot \overrightarrow{\text{AP}} = 18 \iff \overrightarrow{\text{AC}} \cdot \overrightarrow{\text{AP}} = 9$ となる。 よって $$\overrightarrow{\text{AH}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = t|\overrightarrow{\text{AC}}|^2 = 9t = 9 \iff t = 1$$

したがって、$\overrightarrow{\text{AH}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}}$ となる。これより $$|\overrightarrow{\text{AH}}|^2 = \frac{1}{4}|\overrightarrow{\text{AB}}|^2 + |\overrightarrow{\text{AC}}|^2 = \frac{1}{4} \cdot 16 + 9 = 13$$

$\triangle\text{PAH}$ は $\angle\text{PHA}=90^\circ$ の直角三角形であるから $$|\overrightarrow{\text{PH}}|^2 = |\overrightarrow{\text{AP}}|^2 - |\overrightarrow{\text{AH}}|^2 = 16 - 13 = 3$$ $|\overrightarrow{\text{PH}}| > 0$ より、高さは $\sqrt{3}$ である。 底面 $\triangle\text{ABC}$ の面積は $6$ であるから、求める体積 $V$ は $$V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$

解説

空間図形における展開図の基本は、「組み立てたときに重なる辺の長さは等しい」という性質を利用することである。これによって未知の辺の長さを決定するのが第一歩となる。 各辺の長さが求まった後は、高さをどう求めるかが問題になるが、本問では底面が直角三角形であるため、直角の頂点を原点とする座標軸を設定すると、方程式が極めてシンプルに解ける（解法1）。 あるいは、ベクトルの内積を用いて垂線の足の位置を特定する（解法2）のも、空間図形の計量における強力で標準的な手法である。

答え

$2\sqrt{3}$