解説

方針・初手

底面となる $\triangle\mathrm{ABC}$ の3辺の長さが与えられているため、余弦定理を用いて角の大きさを求め、面積を計算する。四面体の高さ $\mathrm{OH}$ については、側稜の長さがすべて等しい（$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$）という条件から、垂線の足 $\mathrm{H}$ が底面 $\triangle\mathrm{ABC}$ の外心に一致することを利用する。

解法1

**(1)**

$\triangle\mathrm{ABC}$ において、余弦定理を用いると、

$$\cos \angle\mathrm{BAC} = \frac{\mathrm{AB}^2 + \mathrm{CA}^2 - \mathrm{BC}^2}{2 \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{CA}}$$

となる。与えられた辺の長さを代入すると、

$$\cos \angle\mathrm{BAC} = \frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{25 + 64 - 49}{80} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$$

$0^\circ < \angle\mathrm{BAC} < 180^\circ$ であるから、

$$\angle\mathrm{BAC} = 60^\circ$$

である。

**(2)**

$\triangle\mathrm{ABC}$ の面積を $S$ とすると、

$$S = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{CA} \sin \angle\mathrm{BAC}$$

となる。よって、

$$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$$

である。

**(3)**

$\triangle\mathrm{OHA}$、$\triangle\mathrm{OHB}$、$\triangle\mathrm{OHC}$ はいずれも $\angle\mathrm{OHA} = \angle\mathrm{OHB} = \angle\mathrm{OHC} = 90^\circ$ の直角三角形である。これらにおいて、$\mathrm{OH}$ は共通の辺であり、斜辺は $\mathrm{OA} = \mathrm{OB} = \mathrm{OC} = 7$ であるから、

$$\triangle\mathrm{OHA} \equiv \triangle\mathrm{OHB} \equiv \triangle\mathrm{OHC}$$

が成り立つ。したがって、

$$\mathrm{AH} = \mathrm{BH} = \mathrm{CH}$$

となり、点 $\mathrm{H}$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ の外接円の中心（外心）である。この外接円の半径を $R$ とすると、$\mathrm{AH} = R$ である。

$\triangle\mathrm{ABC}$ において正弦定理を用いると、

$$\frac{\mathrm{BC}}{\sin \angle\mathrm{BAC}} = 2R$$

が成り立つ。したがって、

$$2R = \frac{7}{\sin 60^\circ} = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}}$$

となり、

$$\mathrm{AH} = R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$$

である。

**(4)**

直角三角形 $\triangle\mathrm{OHA}$ において、三平方の定理より、

$$\mathrm{OH}^2 + \mathrm{AH}^2 = \mathrm{OA}^2$$

が成り立つ。よって、

$$\mathrm{OH}^2 = 7^2 - \left(\frac{7}{\sqrt{3}}\right)^2 = 49 - \frac{49}{3} = \frac{98}{3}$$

$\mathrm{OH} > 0$ であるから、

$$\mathrm{OH} = \sqrt{\frac{98}{3}} = \frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{6}}{3}$$

四面体 $\mathrm{OABC}$ の体積を $V$ とすると、

$$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot \mathrm{OH}$$

となるので、

$$V = \frac{1}{3} \cdot 10\sqrt{3} \cdot \frac{7\sqrt{6}}{3} = \frac{70\sqrt{18}}{9} = \frac{70 \cdot 3\sqrt{2}}{9} = \frac{70\sqrt{2}}{3}$$

である。

解説

「側稜の長さがすべて等しい（$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$）四面体において、頂点から底面に下ろした垂線の足は、底面の三角形の外心となる」という重要な性質を用いる典型的な空間図形の問題である。 この性質に気づくことができれば、あとは平面図形の知識（余弦定理、正弦定理、三角形の面積公式）と三平方の定理を順に適用するだけで完答できる。立体の高さを求めるための底面における外心の活用は、大学入試において頻出であるため確実に押さえておきたい。

答え

(1) $60^\circ$

(2) $10\sqrt{3}$

(3) $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

(4) $\frac{70\sqrt{2}}{3}$