解説

方針・初手

空間図形上の折れ線の長さの最小値は、展開図を描いて直線となる場合を考えるのが定石である。 (1)では、正四面体の隣り合う2つの面 $\triangle\text{OAB}$ と $\triangle\text{OBC}$ を同一平面上に展開し、点 $\text{M}$、$\text{P}$、$\text{C}$ が一直線上に並ぶときの長さを求める。 (2)では、展開図上で求めた $\text{PM}$、$\text{PC}$ の長さを立体に適用するが、$\text{MC}$ の長さは立体の図形（正三角形 $\text{ABC}$ の中線）として改めて求め直す必要があることに注意する。 (3)は、四面体の体積を直接計算するのではなく、基準となる四面体 $\text{OABC}$ と底面積・高さの比を比較することで体積比を求める。

解法1

**(1)**

正四面体の2つの面 $\triangle\text{OAB}$ と $\triangle\text{OBC}$ を、辺 $\text{OB}$ を共有するように同一平面上に展開する。 折れ線 $\text{MP} + \text{PC}$ の長さが最小となるのは、展開図において3点 $\text{M}$、$\text{P}$、$\text{C}$ が一直線上に並ぶときであり、その最小値は線分 $\text{MC}$ の長さに等しい。

展開図において、$\triangle\text{OAB}$ と $\triangle\text{OBC}$ は1辺の長さが $2$ の正三角形である。 点 $\text{M}$ は辺 $\text{AB}$ の中点であるから、$\text{MB} = 1$ である。 また、$\angle\text{MBC} = \angle\text{MBO} + \angle\text{OBC} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$ となる。 $\triangle\text{MBC}$ において余弦定理を用いると、

$$\text{MC}^2 = \text{MB}^2 + \text{BC}^2 - 2 \cdot \text{MB} \cdot \text{BC} \cos 120^\circ = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 7$$

よって、$\text{MP} + \text{PC} = \text{MC} = \sqrt{7}$ である。

次に、点 $\text{P}$ は線分 $\text{OB}$ 上にある。$\text{BP} = x$ とおく。 $\triangle\text{MBC}$ の面積は、線分 $\text{BP}$ によって $\triangle\text{MBP}$ と $\triangle\text{PBC}$ に分割されるため、$\triangle\text{MBC} = \triangle\text{MBP} + \triangle\text{PBC}$ が成り立つ。 面積の公式を用いると、

$$\frac{1}{2} \cdot \text{MB} \cdot \text{BC} \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot \text{MB} \cdot \text{BP} \sin 60^\circ + \frac{1}{2} \cdot \text{BC} \cdot \text{BP} \sin 60^\circ$$

$$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

両辺を $\frac{\sqrt{3}}{4}$ で割ると、

$$4 = x + 2x \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$$

よって、$\text{BP} = \frac{2}{3}$ である。

このとき、$\triangle\text{MBP}$ と $\triangle\text{PBC}$ の面積比は $x : 2x = 1 : 2$ であり、高さが共通であるため底辺の比も $\text{MP} : \text{PC} = 1 : 2$ となる。 したがって、

$$\text{MP} = \frac{1}{1+2} \text{MC} = \frac{\sqrt{7}}{3}$$

**(2)**

立体において $\triangle\text{PMC}$ を考える。 線分 $\text{PM}$ と $\text{PC}$ の長さは展開図での長さと変わらないため、$\text{PM} = \frac{\sqrt{7}}{3}$、$\text{PC} = \frac{2\sqrt{7}}{3}$ である。 一方、線分 $\text{MC}$ は立体図形における正三角形 $\text{ABC}$ の中線である。 $\text{M}$ は $\text{AB}$ の中点であるから $\text{MC} \perp \text{AB}$ となり、直角三角形 $\text{MBC}$ において三平方の定理より、

$$\text{MC} = \sqrt{\text{BC}^2 - \text{MB}^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$$

$\triangle\text{PMC}$ において余弦定理を用いると、

$$\cos\angle\text{MPC} = \frac{\text{PM}^2 + \text{PC}^2 - \text{MC}^2}{2 \cdot \text{PM} \cdot \text{PC}} = \frac{\frac{7}{9} + \frac{28}{9} - 3}{2 \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot \frac{2\sqrt{7}}{3}} = \frac{\frac{8}{9}}{\frac{28}{9}} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}$$

また、$\sin\angle\text{MPC} > 0$ であるから、

$$\sin\angle\text{MPC} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{7}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{49}} = \frac{3\sqrt{5}}{7}$$

したがって、$\triangle\text{PMC}$ の面積 $S$ は、

$$S = \frac{1}{2} \cdot \text{PM} \cdot \text{PC} \sin\angle\text{MPC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot \frac{2\sqrt{7}}{3} \cdot \frac{3\sqrt{5}}{7} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$

**(3)**

四面体 $\text{PMBC}$ と四面体 $\text{OABC}$ について、それぞれ $\triangle\text{MBC}$ と $\triangle\text{ABC}$ を底面とみなす。 点 $\text{M}$ は辺 $\text{AB}$ の中点であるため、底面積について以下が成り立つ。

$$\triangle\text{MBC} = \frac{1}{2} \triangle\text{ABC}$$

次に高さを比較する。点 $\text{P}$ および点 $\text{O}$ から底面（平面 $\text{ABC}$）へ下ろした垂線の長さをそれぞれ $h'$、$h$ とする。 点 $\text{P}$ は線分 $\text{OB}$ 上にあるため、高さの比 $h' : h$ は、線分 $\text{BP}$ と線分 $\text{BO}$ の長さの比に等しい。 $\text{BP} = \frac{2}{3}$、$\text{BO} = 2$ であるから、

$$h' : h = \frac{2}{3} : 2 = 1 : 3$$

よって、$h' = \frac{1}{3}h$ である。 以上より、四面体 $\text{PMBC}$ の体積は次のように求まる。

$$(\text{四面体 }\text{PMBC}\text{ の体積}) = \frac{1}{3} \cdot \triangle\text{MBC} \cdot h' = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\triangle\text{ABC}\right) \cdot \left(\frac{1}{3}h\right) = \frac{1}{6} \left(\frac{1}{3} \cdot \triangle\text{ABC} \cdot h\right) = \frac{1}{6} \cdot (\text{四面体 }\text{OABC}\text{ の体積})$$

ゆえに、体積比は $1 : 6$ となる。

解説

折れ線の最小値問題を展開図に帰着させる基本的な手法と、空間図形における計量、体積比の考え方を問う総合問題である。 (1)では、線分の比を求める際に三角形の面積分割を利用すると、メネラウスの定理や座標計算を持ち出すことなく簡潔に処理できる。 (2)において、展開図上の $\text{MC}$ と立体上の $\text{MC}$ が異なる長さになるという点に気づけるかが最大の罠である。折れ線の長さを求めるために描いた図と、実際の立体図形とで、どの辺の長さが保存され、どの辺が変わるのかを正確に把握することが重要である。 (3)では、体積を底面積 $\times$ 高さの形で相対的に比較することで、面倒な絶対値の計算を回避できる。

答え

ア: $\sqrt{7}$

イ: $\frac{\sqrt{7}}{3}$

ウ: $\frac{2}{3}$

エ: $\frac{2}{7}$

オ: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

カ: $1$

キ: $6$