解説

方針・初手

点Qが辺AC上にあることから、$\text{AQ}=x$ ($0 \le x \le 1$) とおき、$x$を用いて $\cos\angle\text{PDQ}$ を立式する。 ベクトルの内積を利用する方法と、各辺の長さを求めて $\triangle\text{DPQ}$ における余弦定理を利用する方法がある。 立式して得られた $x$ の関数の最大値を求めるにあたっては、実数解の条件（判別式）を利用する手法（文理共通）と、微分法を利用する手法（数学III）が考えられる。

解法1

$\vec{a} = \vec{\text{AB}}$, $\vec{b} = \vec{\text{AC}}$, $\vec{c} = \vec{\text{AD}}$ とおく。 正四面体の1辺の長さは1であるから、

$$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$$

$$\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{c} = \vec{c}\cdot\vec{a} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$

点Qは辺AC上にあるので、実数 $x$ ($0 \le x \le 1$) を用いて $\vec{\text{AQ}} = x\vec{b}$ と表せる。 また、点Pは辺ABの中点であるから $\vec{\text{AP}} = \frac{1}{2}\vec{a}$ である。

これらを用いて $\vec{\text{DP}}$ と $\vec{\text{DQ}}$ を表すと、

$$\vec{\text{DP}} = \vec{\text{AP}} - \vec{\text{AD}} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{c}$$

$$\vec{\text{DQ}} = \vec{\text{AQ}} - \vec{\text{AD}} = x\vec{b} - \vec{c}$$

となる。次に、これらの内積と大きさを求める。

$$\begin{aligned} \vec{\text{DP}}\cdot\vec{\text{DQ}} &= \left(\frac{1}{2}\vec{a} - \vec{c}\right) \cdot (x\vec{b} - \vec{c}) \\ &= \frac{1}{2}x(\vec{a}\cdot\vec{b}) - \frac{1}{2}(\vec{a}\cdot\vec{c}) - x(\vec{c}\cdot\vec{b}) + |\vec{c}|^2 \\ &= \frac{1}{2}x \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - x \cdot \frac{1}{2} + 1 \\ &= \frac{3-x}{4} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} |\vec{\text{DP}}|^2 &= \left|\frac{1}{2}\vec{a} - \vec{c}\right|^2 \\ &= \frac{1}{4}|\vec{a}|^2 - \vec{a}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2 \\ &= \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} |\vec{\text{DQ}}|^2 &= |x\vec{b} - \vec{c}|^2 \\ &= x^2|\vec{b}|^2 - 2x(\vec{b}\cdot\vec{c}) + |\vec{c}|^2 \\ &= x^2 - x + 1 \end{aligned}$$

したがって、$\cos\angle\text{PDQ}$ は次のように表される。

$$\begin{aligned} \cos\angle\text{PDQ} &= \frac{\vec{\text{DP}}\cdot\vec{\text{DQ}}}{|\vec{\text{DP}}| |\vec{\text{DQ}}|} \\ &= \frac{\frac{3-x}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{x^2-x+1}} \\ &= \frac{3-x}{2\sqrt{3(x^2-x+1)}} \end{aligned}$$

$0 \le x \le 1$ のとき $3-x > 0$ であるから、$\cos\angle\text{PDQ} > 0$ である。 $\cos\angle\text{PDQ}$ が最大となるのは、その2乗が最大となるときである。

$$(\cos\angle\text{PDQ})^2 = \frac{(3-x)^2}{12(x^2-x+1)}$$

ここで、$k = \frac{(3-x)^2}{12(x^2-x+1)}$ とおく。分母を払って整理すると、

$$12k(x^2-x+1) = x^2 - 6x + 9$$

$$(12k-1)x^2 - (12k-6)x + 12k - 9 = 0 \cdots \text{①}$$

$k = \frac{1}{12}$ のとき、①は $5x - 8 = 0$ となり $x = \frac{8}{5}$ を得るが、これは $0 \le x \le 1$ を満たさない。 したがって $k \neq \frac{1}{12}$ であり、①は $x$ についての2次方程式である。 $x$ が実数解をもつための条件は、①の判別式を $D$ とすると $D \ge 0$ である。

$$\begin{aligned} D &= \{-(12k-6)\}^2 - 4(12k-1)(12k-9) \\ &= 36(2k-1)^2 - 4(144k^2 - 120k + 9) \\ &= 36(4k^2 - 4k + 1) - 576k^2 + 480k - 36 \\ &= -432k^2 + 336k \\ &= -48k(9k - 7) \end{aligned}$$

$D \ge 0$ より、

$$k(9k - 7) \le 0$$

これを解いて、

$$0 \le k \le \frac{7}{9}$$

$k = \frac{7}{9}$ のとき、①の重解は $x = \frac{12 \cdot \frac{7}{9} - 6}{2(12 \cdot \frac{7}{9} - 1)} = \frac{\frac{84}{9} - 6}{2(\frac{84}{9} - 1)} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$ となり、$0 \le x \le 1$ を満たす。 よって $k$ の最大値は $\frac{7}{9}$ である。 したがって、$\cos\angle\text{PDQ} > 0$ より、求める最大値は

$$\sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$$

解法2

$\text{AQ} = x$ ($0 \le x \le 1$) とおく。 $\triangle\text{DAB}$ は1辺の長さが1の正三角形であり、点Pは辺ABの中点であるから、$\text{DP} \perp \text{AB}$ である。 よって、

$$\text{DP} = 1 \cdot \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$\triangle\text{DAC}$ に余弦定理を用いると、

$$\begin{aligned} \text{DQ}^2 &= \text{AD}^2 + \text{AQ}^2 - 2\text{AD}\cdot\text{AQ}\cos 60^\circ \\ &= 1^2 + x^2 - 2 \cdot 1 \cdot x \cdot \frac{1}{2} \\ &= x^2 - x + 1 \end{aligned}$$

$\triangle\text{BAC}$ に余弦定理を用いると、$\text{AP} = \frac{1}{2}$ より、

$$\begin{aligned} \text{PQ}^2 &= \text{AP}^2 + \text{AQ}^2 - 2\text{AP}\cdot\text{AQ}\cos 60^\circ \\ &= \left(\frac{1}{2}\right)^2 + x^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{1}{2} \\ &= x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \end{aligned}$$

$\triangle\text{DPQ}$ に余弦定理を用いると、

$$\begin{aligned} \cos\angle\text{PDQ} &= \frac{\text{DP}^2 + \text{DQ}^2 - \text{PQ}^2}{2\text{DP}\cdot\text{DQ}} \\ &= \frac{\frac{3}{4} + (x^2 - x + 1) - \left(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\right)}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{x^2 - x + 1}} \\ &= \frac{\frac{3-x}{2}}{\sqrt{3(x^2 - x + 1)}} \\ &= \frac{3-x}{2\sqrt{3(x^2 - x + 1)}} \end{aligned}$$

ここで、$f(x) = \frac{(3-x)^2}{12(x^2-x+1)}$ とおき、$0 \le x \le 1$ における $f(x)$ の最大値を調べる。

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{12} \cdot \frac{2(3-x)(-1)(x^2-x+1) - (3-x)^2(2x-1)}{(x^2-x+1)^2} \\ &= \frac{3-x}{12(x^2-x+1)^2} \left\{ -2(x^2-x+1) - (3-x)(2x-1) \right\} \\ &= \frac{3-x}{12(x^2-x+1)^2} (-2x^2 + 2x - 2 + 2x^2 - 7x + 3) \\ &= \frac{(3-x)(1-5x)}{12(x^2-x+1)^2} \end{aligned}$$

$0 \le x \le 1$ において $f'(x) = 0$ となるのは $x = \frac{1}{5}$ のときである。 $0 < x < \frac{1}{5}$ のとき $f'(x) > 0$ であり、$\frac{1}{5} < x < 1$ のとき $f'(x) < 0$ となるため、$f(x)$ は $x = \frac{1}{5}$ において極大かつ最大となる。 その値は、

$$f\left(\frac{1}{5}\right) = \frac{\left(3 - \frac{1}{5}\right)^2}{12\left(\frac{1}{25} - \frac{1}{5} + 1\right)} = \frac{\frac{196}{25}}{12 \cdot \frac{21}{25}} = \frac{196}{252} = \frac{7}{9}$$

$0 \le x \le 1$ において $\cos\angle\text{PDQ} > 0$ であるから、$\cos\angle\text{PDQ}$ の最大値は

$$\sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$$

解説

正四面体の計量問題において、線分の長さや角度をひとつの変数で表し、その関数の最大・最小を求める典型的な問題である。 解法1のようにベクトルを用いて内積から立式する方法と、解法2のように初等幾何と余弦定理を用いて立式する方法があるが、どちらの経路でも最終的には同じ分数関数に行き着く。

変数が1つの分数関数の最大・最小を求める手法としては、数学IIIの商の微分法を用いるのが確実であるが、本問のような「2次式／2次式」の形であれば、解法1のように定数 $k$ とおいて $x$ の2次方程式とみなし、判別式 $D \ge 0$ を用いる手法（実数解条件の利用）が非常に有効である。文系・理系問わず習熟しておきたいテクニックである。なお、最大値をとる際の $x$ の値が定義域 $0 \le x \le 1$ に含まれることの確認を忘れないようにしたい。

答え

$\frac{\sqrt{7}}{3}$