解説

方針・初手

位置ベクトルを用いて、各頂点および重心の位置関係を立式する。 四面体の各頂点を $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ とおき、与えられた重心の条件をこれら3つのベクトルで表現する。その上で、図形の相似関係と体積比の性質を利用して効率的に計算を進める。

解法1

**(1)**

点Oを原点とし、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ とおく。 点O', A', B', C' はそれぞれ $\triangle ABC$, $\triangle OBC$, $\triangle OCA$, $\triangle OAB$ の重心であるから、それぞれの位置ベクトルは以下のように表される。

$$\overrightarrow{OO'} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$$

$$\overrightarrow{OA'} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3}$$

$$\overrightarrow{OB'} = \frac{\vec{c} + \vec{a}}{3}$$

$$\overrightarrow{OC'} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{3}$$

これらを用いて $\overrightarrow{O'A'}$ を計算する。

$$\begin{aligned} \overrightarrow{O'A'} &= \overrightarrow{OA'} - \overrightarrow{OO'} \\ &= \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \\ &= -\frac{1}{3}\vec{a} \\ &= -\frac{1}{3}\overrightarrow{OA} \end{aligned}$$

ゆえに、$\overrightarrow{O'A'}$ は $\overrightarrow{OA}$ の実数倍で表せるため、2つのベクトル $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{O'A'}$ は平行である。（証明終）

**(2)**

**(1)** の結果より、ベクトルの大きさについて以下の関係が成り立つ。

$$|\overrightarrow{O'A'}| = \left|-\frac{1}{3}\right| |\overrightarrow{OA}| = \frac{1}{3}|\overrightarrow{OA}|$$

よって、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{O'A'}$ の大きさの比は以下のようになる。

$$|\overrightarrow{OA}| : |\overrightarrow{O'A'}| = 3 : 1$$

**(3)**

**(1)** と同様にして、$\overrightarrow{O'B'}$ を $\vec{b}$ で表す。

$$\begin{aligned} \overrightarrow{O'B'} &= \overrightarrow{OB'} - \overrightarrow{OO'} \\ &= \frac{\vec{c} + \vec{a}}{3} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \\ &= -\frac{1}{3}\vec{b} \\ &= -\frac{1}{3}\overrightarrow{OB} \end{aligned}$$

これを用いて、辺のベクトル $\overrightarrow{A'B'}$ を求める。

$$\begin{aligned} \overrightarrow{A'B'} &= \overrightarrow{O'B'} - \overrightarrow{O'A'} \\ &= -\frac{1}{3}\vec{b} - \left(-\frac{1}{3}\vec{a}\right) \\ &= -\frac{1}{3}(\vec{b} - \vec{a}) \\ &= -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \end{aligned}$$

これらより、それぞれの辺の長さについて以下が成り立つ。

$$|\overrightarrow{O'B'}| = \frac{1}{3}|\overrightarrow{OB}|$$

$$|\overrightarrow{A'B'}| = \frac{1}{3}|\overrightarrow{AB}|$$

**(2)** で求めた $|\overrightarrow{O'A'}| = \frac{1}{3}|\overrightarrow{OA}|$ と併せると、$\triangle OAB$ と $\triangle O'A'B'$ において、対応する3組の辺の長さの比がすべて $3 : 1$ と等しい。 3組の辺の比が等しいので、$\triangle OAB \sim \triangle O'A'B'$ である。（証明終）

**(4)**

まず、四面体 $OPQR$ の体積を考える。 $P(1, 0, 0)$, $Q(0, 2, 0)$, $R(0, 0, 3)$ であるから、底面を $xy$ 平面上の $\triangle OPQ$ とみると、$\triangle OPQ$ は $\angle POQ = 90^\circ$ の直角三角形であり、高さは $z$ 軸上の線分 $OR = 3$ である。 したがって、四面体 $OPQR$ の体積 $V_0$ は以下のように求まる。

$$\begin{aligned} V_0 &= \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2} \times 1 \times 2\right) \times 3 \\ &= 1 \end{aligned}$$

次に、点 A, B, C はそれぞれ辺 PQ, QR, RP の中点である。 四面体 $OABC$ の体積 $V$ を求めるために、底面をそれぞれ $\triangle PQR$ および $\triangle ABC$ とみる。 点 O と平面 $PQR$ との距離（高さ）を $h$ とすると、四面体の体積はそれぞれ以下のように表せる。 $V_0 = \frac{1}{3} \times \triangle PQR \times h$ $V = \frac{1}{3} \times \triangle ABC \times h$

ここで、中点連結定理より $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ であり、その相似比は $1 : 2$ である。 面積比は相似比の2乗に等しいから、$\triangle ABC = \frac{1}{4} \triangle PQR$ となる。 高さ $h$ は共通であるから、体積比も底面積の比に等しくなる。

$$\begin{aligned} V &= \frac{1}{4} V_0 \\ &= \frac{1}{4} \times 1 \\ &= \frac{1}{4} \end{aligned}$$

さらに、四面体 $O'A'B'C'$ の体積 $V'$ について考える。 **(1)** と同様の計算により、$\overrightarrow{O'C'} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$ が成り立つ。 したがって、四面体 $O'A'B'C'$ を構成する3つのベクトル $\overrightarrow{O'A'}, \overrightarrow{O'B'}, \overrightarrow{O'C'}$ は、それぞれ四面体 $OABC$ を構成する $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ を $-\frac{1}{3}$ 倍したものに等しい。 これは、四面体 $O'A'B'C'$ が四面体 $OABC$ と相似であることを意味し、その相似比は $1 : 3$ である。 体積比は相似比の3乗に等しいため、体積 $V'$ は $V$ の $\frac{1}{27}$ となる。

$$\begin{aligned} V' &= \frac{1}{27} V \\ &= \frac{1}{27} \times \frac{1}{4} \\ &= \frac{1}{108} \end{aligned}$$

解説

位置ベクトルを導入し、重心の公式を利用して各ベクトルの関係式を導くのが定石である。 (1) から (3) までの誘導を通して、四面体 $OABC$ と四面体 $O'A'B'C'$ が相似の中心を点 O'、相似比を $-\frac{1}{3}$（大きさの比としては $1/3$）として縮小反転された関係にあることを示している。 (4) において、各点の座標成分を用いて直接体積を計算しようとすると手間がかかるが、図形の相似比と面積比・体積比の関係（相似比が $1:k$ のとき、面積比は $1:k^2$、体積比は $1:k^3$）をうまく利用することで、計算量を大幅に減らして簡潔に答えを求めることができる。

答え

**(1)** 略（本文参照）

**(2)** $3 : 1$

**(3)** 略（本文参照）

**(4)**

$V = \frac{1}{4}$

$V' = \frac{1}{108}$