解説

方針・初手

与えられた3点 $\text{A}, \text{B}, \text{C}$ について、それぞれの2点間の距離を計算し、正八面体における位置関係を把握する。 正八面体の頂点間の距離は、隣り合う頂点同士（辺の長さ）と、中心に関して対称な頂点同士（対角線の長さ）の2種類しかないことに着目する。

解法1

**(1)**

2点間の距離の公式より、線分 $\text{AB}$、$\text{AC}$、$\text{BC}$ の長さをそれぞれ求める。

$$\begin{aligned} \text{AB}^2 &= (\sqrt{3}-3)^2 + (2-(1+\sqrt{3}))^2 + (2+2\sqrt{3}-0)^2 \\ &= (3 - 6\sqrt{3} + 9) + (1 - \sqrt{3})^2 + (2+2\sqrt{3})^2 \\ &= 12 - 6\sqrt{3} + 1 - 2\sqrt{3} + 3 + 4 + 8\sqrt{3} + 12 \\ &= 32 \end{aligned}$$

よって、$\text{AB} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ である。

$$\begin{aligned} \text{AC}^2 &= (-\sqrt{3}-3)^2 + (0-(1+\sqrt{3}))^2 + (2-2\sqrt{3}-0)^2 \\ &= (3 + 6\sqrt{3} + 9) + (1+2\sqrt{3}+3) + (4 - 8\sqrt{3} + 12) \\ &= 12 + 6\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3} + 16 - 8\sqrt{3} \\ &= 32 \end{aligned}$$

よって、$\text{AC} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ である。

$$\begin{aligned} \text{BC}^2 &= (-\sqrt{3}-\sqrt{3})^2 + (0-2)^2 + \{2-2\sqrt{3}-(2+2\sqrt{3})\}^2 \\ &= (-2\sqrt{3})^2 + (-2)^2 + (-4\sqrt{3})^2 \\ &= 12 + 4 + 48 \\ &= 64 \end{aligned}$$

よって、$\text{BC} = \sqrt{64} = 8$ である。

**(2)**

(1)より、$\text{AB} = \text{AC} = 4\sqrt{2}$、$\text{BC} = 8$ であり、$\text{AB}^2 + \text{AC}^2 = \text{BC}^2$ が成り立つため、$\triangle \text{ABC}$ は $\angle \text{A} = 90^\circ$ の直角二等辺三角形である。

正八面体において、頂点間の距離は辺の長さか対角線の長さのいずれかである。$\text{BC} = \sqrt{2}\text{AB}$ であることから、線分 $\text{AB}$ および $\text{AC}$ は正八面体の辺であり、線分 $\text{BC}$ は正八面体の対角線であることがわかる。 対角線の中点は正八面体の中心 $\text{G}$ に一致するため、$\text{G}$ の座標は線分 $\text{BC}$ の中点を求めて得られる。

$$\text{G} \left( \frac{\sqrt{3} + (-\sqrt{3})}{2}, \frac{2 + 0}{2}, \frac{2+2\sqrt{3} + 2-2\sqrt{3}}{2} \right)$$

これを計算して、$\text{G}(0, 1, 2)$ である。

**(3)**

正八面体の残りの3つの頂点を求める。 1つは、中心 $\text{G}$ に関して頂点 $\text{A}$ と対称な点である。この点を $\text{D}$ とすると、$\text{G}$ は線分 $\text{AD}$ の中点であるから、$\text{D}$ の座標を $(x, y, z)$ とすると以下が成り立つ。

$$\frac{3+x}{2} = 0, \quad \frac{1+\sqrt{3}+y}{2} = 1, \quad \frac{0+z}{2} = 2$$

これを解いて、$x = -3$、$y = 1-\sqrt{3}$、$z = 4$ を得る。 したがって、1つの頂点の座標は $(-3, 1-\sqrt{3}, 4)$ である。

さらに残りの2つの頂点を $\text{E}$、$\text{F}$ とする。 四角形 $\text{AEDF}$ は $\text{G}$ を中心とする正方形であり、その平面は対角線 $\text{BC}$ と直交する。 したがって、$\overrightarrow{\text{GE}}$ は $\overrightarrow{\text{GA}}$ および $\overrightarrow{\text{GB}}$ の両方と直交し、その大きさは $|\overrightarrow{\text{GA}}|$ に等しい。 $\overrightarrow{\text{GA}} = (3, \sqrt{3}, -2)$、$\overrightarrow{\text{GB}} = (\sqrt{3}, 1, 2\sqrt{3})$ である。 ベクトル $\vec{v} = (p, q, r)$ が $\overrightarrow{\text{GA}}$ と $\overrightarrow{\text{GB}}$ に直交するとする。

$$\vec{v} \cdot \overrightarrow{\text{GA}} = 3p + \sqrt{3}q - 2r = 0$$

$$\vec{v} \cdot \overrightarrow{\text{GB}} = \sqrt{3}p + q + 2\sqrt{3}r = 0$$

第2式より $q = -\sqrt{3}p - 2\sqrt{3}r$ となり、これを第1式に代入する。

$$3p + \sqrt{3}(-\sqrt{3}p - 2\sqrt{3}r) - 2r = 0$$

整理すると $-8r = 0$ となり、$r = 0$ を得る。 $r = 0$ のとき、$q = -\sqrt{3}p$ であるから、$\vec{v} = (p, -\sqrt{3}p, 0) = p(1, -\sqrt{3}, 0)$ と表せる。

また、$\text{E}$、$\text{F}$ は $\text{G}$ を中心とする正八面体の頂点であるから、$|\vec{v}| = |\overrightarrow{\text{GA}}|$ を満たす。

$$|\overrightarrow{\text{GA}}|^2 = 3^2 + (\sqrt{3})^2 + (-2)^2 = 16$$

$$|\vec{v}|^2 = p^2 + (-\sqrt{3}p)^2 + 0^2 = 4p^2$$

これらが等しいので $4p^2 = 16$ となり、$p^2 = 4$ より $p = \pm 2$ である。 $p = 2$ のとき $\vec{v} = (2, -2\sqrt{3}, 0)$ であり、$p = -2$ のとき $\vec{v} = (-2, 2\sqrt{3}, 0)$ となる。

中心 $\text{G}(0, 1, 2)$ からの変位が $\vec{v}$ であるから、残りの2頂点の座標はそれぞれ以下のようになる。

$$(0+2, 1-2\sqrt{3}, 2+0) = (2, 1-2\sqrt{3}, 2)$$

$$(0-2, 1+2\sqrt{3}, 2+0) = (-2, 1+2\sqrt{3}, 2)$$

以上より、求める3つの頂点の座標が得られた。

解説

空間図形の性質とベクトルの内積を組み合わせた標準的な問題である。 3点の座標が与えられたとき、まずはそれぞれの距離を計算することで、図形の全体像を掴むのが定石である。 本問では距離の計算から直角二等辺三角形が見つかり、正八面体の対角線と辺の関係を利用して中心座標を求めることができる。 残りの頂点を求める場面では、中心に関して対称な点（中点の性質）と、平面に垂直なベクトル（内積が0）を活用することで、計算量を抑えつつ論理的に解き進めることができる。

答え

① $4\sqrt{2}$

② $4\sqrt{2}$

③ $8$

④ $(0, 1, 2)$

⑤ $(-3, 1-\sqrt{3}, 4)$

⑥ $(2, 1-2\sqrt{3}, 2)$

⑦ $(-2, 1+2\sqrt{3}, 2)$

※ ⑤〜⑦は順不同である。