解説

方針・初手

空間ベクトルと図形の方程式を組み合わせた問題である。各問において、与えられた幾何学的な条件を座標やベクトルの関係式に翻訳していくことが基本となる。

• **(1)** は直線の方程式と平面の交点を求める基本的な問題である。ベクトルを用いて直線上の点を媒介変数表示する。
• **(2)** は直線と円の交点を求める問題である。(1)で求めた点Eと点Pを通る直線の方程式を立式し、円の方程式と連立する。交点の1つがPであることが分かっているため、因数分解や解と係数の関係を利用すると計算がスムーズになる。
• **(3)** はベクトル方程式を成分表示して連立方程式を解く。点F, Gが円 $C$ 上にあるという条件（$x^2+y^2=1$）を忘れないようにする。
• **(4)** は「3点が一直線上にある」という条件を2つ用いる。ベクトルを用いて座標を立式し連立方程式を解く代数的なアプローチ（解法2）と、5点A, B, P, R, Uが同一平面上にあることを見抜き、点Rが(2)の点Qと一致することを幾何学的に示すアプローチ（解法1）がある。

解法1

**(1)** 直線AB上の点Eは、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{\text{OE}} = \overrightarrow{\text{OA}} + k\overrightarrow{\text{AB}}$ と表される。 $\text{A}(1, 0, 1)$, $\text{B}\left(\frac{2}{5}, 0, \frac{4}{5}\right)$ より、$\overrightarrow{\text{AB}} = \left(-\frac{3}{5}, 0, -\frac{1}{5}\right)$ であるから、

$$ \overrightarrow{\text{OE}} = (1, 0, 1) + k\left(-\frac{3}{5}, 0, -\frac{1}{5}\right) = \left(1 - \frac{3}{5}k, 0, 1 - \frac{1}{5}k\right) $$

点Eは $xy$ 平面上の点なので、$z$ 座標は $0$ である。

$$ 1 - \frac{1}{5}k = 0 \iff k = 5 $$

このとき、$x$ 座標は $1 - \frac{3}{5} \cdot 5 = -2$ となる。 したがって、点Eの座標は $(-2, 0, 0)$ である。

**(2)** 点Pは円 $C: x^2 + y^2 = 1 \ (z=0)$ 上の点で、$y$ 座標が正、$x$ 座標が $p$ であるから、$\text{P}\left(p, \sqrt{1-p^2}, 0\right)$ である。ただし、$-1 < p < 1$ である。 直線EP上の点 $(x, y, 0)$ は、実数 $t$ を用いて $\overrightarrow{\text{OQ}} = (1-t)\overrightarrow{\text{OE}} + t\overrightarrow{\text{OP}}$ と表されるため、$xy$ 平面上における直線EPの方程式は、傾きが $\frac{\sqrt{1-p^2} - 0}{p - (-2)} = \frac{\sqrt{1-p^2}}{p+2}$ であることから、

$$ y = \frac{\sqrt{1-p^2}}{p+2}(x+2) $$

となる。点Qはこれと円 $C$ の交点であるから、$x^2 + y^2 = 1$ に代入して、

$$ x^2 + \frac{1-p^2}{(p+2)^2}(x+2)^2 = 1 $$

両辺に $(p+2)^2$ を掛けて整理する。

$$ (p+2)^2 x^2 + (1-p^2)(x^2+4x+4) = (p+2)^2 $$

$$ (p^2+4p+4)x^2 + (1-p^2)x^2 + 4(1-p^2)x + 4(1-p^2) - (p^2+4p+4) = 0 $$

$$ (4p+5)x^2 + 4(1-p^2)x - p(5p+4) = 0 $$

点Pは直線EPと円 $C$ の交点であるから、$x=p$ はこの2次方程式の解の1つである。解と係数の関係より、もう1つの解（点Qの $x$ 座標 $x_Q$）は、

$$ p + x_Q = -\frac{4(1-p^2)}{4p+5} $$

$$ x_Q = -\frac{4-4p^2}{4p+5} - \frac{4p^2+5p}{4p+5} = -\frac{5p+4}{4p+5} $$

点Qの $y$ 座標 $y_Q$ は、これを直線の方程式に代入して、

$$ y_Q = \frac{\sqrt{1-p^2}}{p+2} \left( -\frac{5p+4}{4p+5} + 2 \right) = \frac{\sqrt{1-p^2}}{p+2} \cdot \frac{3p+6}{4p+5} = \frac{3\sqrt{1-p^2}}{4p+5} $$

となる。

**(3)** 点F, G は円 $C$ 上の点であるから、$\text{F}(\cos\alpha, \sin\alpha, 0)$, $\text{G}(\cos\beta, \sin\beta, 0)$ とおける。点Fの $y$ 座標は正なので、$\sin\alpha > 0$ である。 $\overrightarrow{\text{AF}} = (\cos\alpha-1, \sin\alpha, -1)$ $\overrightarrow{\text{BG}} = \left(\cos\beta-\frac{2}{5}, \sin\beta, -\frac{4}{5}\right)$ $\overrightarrow{\text{BG}} = t\overrightarrow{\text{AF}}$ より、各成分を比較して

$$ \begin{cases} \cos\beta - \frac{2}{5} = t(\cos\alpha - 1) \\ \sin\beta = t\sin\alpha \\ -\frac{4}{5} = -t \end{cases} $$

第3式より $t = \frac{4}{5}$。これを第1式、第2式に代入して整理すると、

$$ \begin{cases} \cos\beta = \frac{4}{5}\cos\alpha - \frac{2}{5} \\ \sin\beta = \frac{4}{5}\sin\alpha \end{cases} $$

点Gは円 $C$ 上の点であるから $\cos^2\beta + \sin^2\beta = 1$ が成り立つ。代入すると、

$$ \left(\frac{4}{5}\cos\alpha - \frac{2}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\sin\alpha\right)^2 = 1 $$

$$ \frac{16}{25}\cos^2\alpha - \frac{16}{25}\cos\alpha + \frac{4}{25} + \frac{16}{25}\sin^2\alpha = 1 $$

$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ を用いて整理すると、

$$ \frac{16}{25} - \frac{16}{25}\cos\alpha + \frac{4}{25} = 1 $$

$$ 20 - 16\cos\alpha = 25 \iff \cos\alpha = -\frac{5}{16} $$

したがって、点Fの $x$ 座標の値は $-\frac{5}{16}$ である。（このとき $\sin\alpha = \frac{\sqrt{231}}{16} > 0$ となり、条件を満たすFは確かに存在する。）

**(4)** 点A, P, U が一直線上にあることから、直線APと直線BRは点Uで交わる。 これにより、2直線AP, BR は同一平面（これを平面 $\alpha$ とする）を決定する。 点A, Bはともに平面 $\alpha$ 上にあるため、直線ABは平面 $\alpha$ に含まれる。 点P, Rもともに平面 $\alpha$ 上にあるため、直線PRも平面 $\alpha$ に含まれる。 一方で、点P, R は $xy$ 平面上にあるため、直線PRは平面 $\alpha$ と $xy$ 平面の交線である。 点Eは直線ABと $xy$ 平面の交点であるから、平面 $\alpha$ 上にあり、かつ $xy$ 平面上にある。 ゆえに、点Eは平面 $\alpha$ と $xy$ 平面の交線、すなわち直線PR上にある。 つまり、3点E, P, R は同一直線上にある。 点Rは円 $C$ 上にあり、Pと異なる点であるため、(2)で求めた直線EPと円 $C$ の交点Qに他ならない。 したがって、点Rの $y$ 座標は、

$$ y_R = \frac{3\sqrt{1-p^2}}{4p+5} $$

次に、点Uの $y$ 座標を求める。 点Uは直線AP上にあるため、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{\text{OU}} = (1-k)\overrightarrow{\text{OA}} + k\overrightarrow{\text{OP}}$ と表せる。 Pの $z$ 座標は $0$、Aの $z$ 座標は $1$ より、点Uの $z$ 座標は $1-k$ である。 また、点Uは直線BR上にもあるため、実数 $s$ を用いて $\overrightarrow{\text{OU}} = (1-s)\overrightarrow{\text{OB}} + s\overrightarrow{\text{OR}}$ と表せる。 Rの $z$ 座標は $0$、Bの $z$ 座標は $\frac{4}{5}$ より、点Uの $z$ 座標は $\frac{4}{5}(1-s)$ である。 よって、$z$ 座標を比較して、

$$ 1-k = \frac{4}{5}(1-s) \iff s = \frac{5k-1}{4} $$

また、それぞれの式の $y$ 座標を比較すると、AとBの $y$ 座標は $0$ なので、

$$ k \cdot y_P = s \cdot y_R $$

$$ k \sqrt{1-p^2} = s \frac{3\sqrt{1-p^2}}{4p+5} $$

$p \neq 1, -1$ より $\sqrt{1-p^2} \neq 0$ であるから、両辺を割って $s$ を代入すると、

$$ k = \frac{5k-1}{4} \cdot \frac{3}{4p+5} $$

$$ 4k(4p+5) = 3(5k-1) $$

$$ (16p+5)k = -3 $$

問題の条件より、点Pは(3)の点Fと異なるので $p \neq -\frac{5}{16}$ である。よって $16p+5 \neq 0$ となり、

$$ k = -\frac{3}{16p+5} $$

したがって、点Uの $y$ 座標は、

$$ y_U = k \sqrt{1-p^2} = -\frac{3\sqrt{1-p^2}}{16p+5} $$

解法2

**(1)〜(3)** 解法1に同じ。

**(4)** の別解（ベクトルを用いた代数的解法）

A, P, U が一直線上にあるので、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{\text{OU}} = (1-k)\overrightarrow{\text{OA}} + k\overrightarrow{\text{OP}}$ と表せる。 $\text{P}(p, \sqrt{1-p^2}, 0)$ より、点Uの座標は $(1-k+kp, k\sqrt{1-p^2}, 1-k)$ となる。 B, R, U が一直線上にあるので、実数 $s$ を用いて $\overrightarrow{\text{OU}} = (1-s)\overrightarrow{\text{OB}} + s\overrightarrow{\text{OR}}$ と表せる。 点Rは $xy$ 平面上の点なので $z$ 座標は $0$。$\text{B}\left(\frac{2}{5}, 0, \frac{4}{5}\right)$ より、点Uの $z$ 座標は $\frac{4}{5}(1-s)$ となる。 $z$ 座標を比較して、

$$ 1-k = \frac{4}{5}(1-s) \iff s = \frac{5k-1}{4} $$

点Rの座標を $(x_R, y_R, 0)$ とし、点Uの $x, y$ 座標を比較すると、

$$ 1-k+kp = \frac{2}{5}(1-s) + s x_R = \frac{1-k}{2} + \frac{5k-1}{4}x_R $$

$$ k\sqrt{1-p^2} = s y_R = \frac{5k-1}{4}y_R $$

これらより、

$$ x_R = \frac{2-2k+4kp}{5k-1}, \quad y_R = \frac{4k\sqrt{1-p^2}}{5k-1} $$

点Rは円 $C$ 上にあるので $x_R^2 + y_R^2 = 1$ が成り立つ。代入して整理すると、

$$ \left( \frac{2-2k+4kp}{5k-1} \right)^2 + \left( \frac{4k\sqrt{1-p^2}}{5k-1} \right)^2 = 1 $$

$$ 4 \{ 1 - k(1-2p) \}^2 + 16k^2(1-p^2) = (5k-1)^2 $$

$$ 4 \{ 1 - 2k(1-2p) + k^2(1-4p+4p^2) \} + 16k^2 - 16k^2p^2 = 25k^2 - 10k + 1 $$

$$ 4 - 8k + 16kp + 4k^2 - 16k^2p + 16k^2p^2 + 16k^2 - 16k^2p^2 = 25k^2 - 10k + 1 $$

$$ 20k^2 - 16pk^2 + 16pk - 8k + 4 = 25k^2 - 10k + 1 $$

$$ (16p+5)k^2 - (16p+2)k - 3 = 0 $$

左辺をたすき掛けにより因数分解すると、

$$ (k-1) \{ (16p+5)k + 3 \} = 0 $$

$k=1$ のとき、$x_R = p$, $y_R = \sqrt{1-p^2}$ となり点Rが点Pと一致してしまうため不適。 条件より点Pは(3)の点Fと異なるので $p \neq -\frac{5}{16}$ であり $16p+5 \neq 0$ となるため、

$$ k = -\frac{3}{16p+5} $$

これを $y_R, y_U$ の式に代入する。

$$ 5k-1 = \frac{-15}{16p+5} - 1 = \frac{-16p-20}{16p+5} = \frac{-4(4p+5)}{16p+5} $$

$$ y_R = \frac{4 \left( -\frac{3}{16p+5} \right) \sqrt{1-p^2}}{\frac{-4(4p+5)}{16p+5}} = \frac{-12\sqrt{1-p^2}}{-4(4p+5)} = \frac{3\sqrt{1-p^2}}{4p+5} $$

$$ y_U = k\sqrt{1-p^2} = -\frac{3\sqrt{1-p^2}}{16p+5} $$

解説

空間ベクトルと図形の方程式の総合問題である。(4)のアプローチによって計算量が大きく変わる。 解法1のように「2直線が交わるとき、それらは同一平面上にある」という空間図形の基本性質を利用し、平面の交線を考えることで、(2)の誘導の意味が明らかになる。点Rが点Qと同一であることを幾何学的に見抜ければ、大幅な時間短縮と計算ミスの防止につながる。 解法2のように成分をすべて立式して代数的に解くことも可能であり、この場合は $k$ についての2次方程式が必ず因数分解できる（$R$ が $P$ に一致する $k=1$ を自明な解として持つため）という事実を知っておくと計算の見通しが良くなる。 また、問題文にある $p \neq -\frac{1}{2}$ は分母が $0$ にならないための条件（QとPが一致しない条件）であり、(4)における「PはFと異なる」という条件は $p \neq -\frac{5}{16}$ を意味し、これも途中で分母が $0$ にならないための保証となっている。作問上の繊細な配慮が随所に見られる良問である。

答え

**(1)** $(-2, 0, 0)$

**(2)** $\frac{3\sqrt{1-p^2}}{4p+5}$

**(3)** $-\frac{5}{16}$

**(4)** 点Rの $y$ 座標：$\frac{3\sqrt{1-p^2}}{4p+5}$、点Uの $y$ 座標：$-\frac{3\sqrt{1-p^2}}{16p+5}$