解説

方針・初手

球が直三角柱のすべての面に接するという条件を、立体図形から平面図形の問題に帰着させる。球が上下の底面に接することから球の直径が直三角柱の高さと等しいことがわかる。また、球が3つの側面に接することから、底面に平行な平面で球の中心を通るように切断した断面を考えると、底面三角形の内接円の半径が球の半径と等しいことがわかる。三角形の面積をヘロンの公式と内接円の半径を用いた公式の2通りで表すことで関係式を導く。

解法1

**(1)**

球 $S$ が直三角柱 $T$ の上下の底面に接することから、$T$ の高さ $h$ は球 $S$ の直径に等しい。よって、

$$h = 2r$$

が成り立つ。

また、球 $S$ が $T$ の3つの側面に接することから、$T$ を底面に平行な平面で切断したときの断面について考える。球の中心を通る平面で切断すると、その断面は半径 $r$ の円であり、直三角柱の側面にあたる線分に接するため、底面である $\triangle\text{ABC}$ に内接している。 したがって、$r$ は3辺の長さが $2, 3, t$ である $\triangle\text{ABC}$ の内接円の半径である。

$\triangle\text{ABC}$ の面積を $S_{\triangle}$ とする。ヘロンの公式より、

$$\begin{aligned} S_{\triangle} &= \sqrt{\frac{2+3+t}{2} \cdot \frac{-2+3+t}{2} \cdot \frac{2-3+t}{2} \cdot \frac{2+3-t}{2}} \\ &= \frac{1}{4}\sqrt{(t+5)(t+1)(t-1)(5-t)} \\ &= \frac{1}{4}\sqrt{(t^2-1)(25-t^2)} \end{aligned}$$

また、$S_{\triangle}$ は内接円の半径 $r$ を用いて、

$$S_{\triangle} = \frac{1}{2}(2+3+t)r = \frac{t+5}{2}r$$

と表せる。これらが等しいことから、

$$\frac{t+5}{2}r = \frac{1}{4}\sqrt{(t^2-1)(25-t^2)}$$

$1 < t < 5$ より $t+5 > 0$ であるから、両辺を割って、

$$r = \frac{\sqrt{(t^2-1)(25-t^2)}}{2(t+5)}$$

これより、高さ $h$ は、

$$h = 2r = \frac{\sqrt{(t^2-1)(25-t^2)}}{t+5}$$

**(2)**

$T$ の表面積 $K$ は、2つの底面積と3つの側面積の和である。

$$K = 2S_{\triangle} + 2h + 3h + th = 2S_{\triangle} + (t+5)h$$

ここで、(1)より $(t+5)h = (t+5) \cdot 2r = 4 \cdot \frac{t+5}{2}r = 4S_{\triangle}$ であるから、

$$K = 2S_{\triangle} + 4S_{\triangle} = 6S_{\triangle}$$

となる。したがって、

$$K = 6 \cdot \frac{1}{4}\sqrt{(t^2-1)(25-t^2)} = \frac{3}{2}\sqrt{(t^2-1)(25-t^2)}$$

$K$ を最大にする $t$ の値を求める。根号の中身を $f(t)$ とおくと、

$$f(t) = (t^2-1)(25-t^2) = -t^4 + 26t^2 - 25 = -(t^2-13)^2 + 144$$

$1 < t < 5$ より $1 < t^2 < 25$ であるから、$f(t)$ は $t^2 = 13$ すなわち $t = \sqrt{13}$ のとき最大値 $144$ をとる。 $K > 0$ であり、$f(t)$ が最大のとき $K$ も最大となる。 そのときの最大値は、

$$K = \frac{3}{2}\sqrt{144} = \frac{3}{2} \cdot 12 = 18$$

解説

空間図形と球の接する条件を平面図形に帰着させて考える典型問題である。直三角柱に内接する球を考える際、「球の直径は柱の高さに等しい」「底面三角形の内接円の半径は球の半径に等しい」という2つの性質を的確に見抜くことが重要である。

また、**(2)** において表面積 $K$ を直接 $t$ の式で計算しようとすると式が煩雑になるが、$K = 6S_{\triangle}$ と簡潔に表せることに気づけば計算量を大幅に減らすことができる。側面積の和が底面の周の長さと高さの積 $(2+3+t)h$ であり、これが内接円の半径を用いた三角形の面積の公式の形に関連していることを利用した式変形である。関数の最大・最小の処理では、$t^2$ を1つの変数とみることで、4次関数を平方完成が容易な2次関数に帰着させている。

答え

**(1)**

$r = \frac{\sqrt{(t^2-1)(25-t^2)}}{2(t+5)}$

$h = \frac{\sqrt{(t^2-1)(25-t^2)}}{t+5}$

**(2)**

$t = \sqrt{13}$ のとき、最大値 $18$