解説

方針・初手

正八面体を、1つの正方形を底面とし、高さが等しい2つの正四角錐を貼り合わせた立体として捉える。対称性から中心を定め、外接球および内接球の半径を、図形的な性質や体積の分割を利用して計算する。

解法1

1辺の長さが $a$ の正八面体の頂点を、上から順に $\text{A}$、中段の正方形の頂点を順に $\text{B}$、$\text{C}$、$\text{D}$、$\text{E}$、下の頂点を $\text{F}$ とする。

正方形 $\text{BCDE}$ の対角線の交点を $\text{O}$ とすると、対称性より $\text{O}$ は正八面体の中心である。 正方形 $\text{BCDE}$ の1辺の長さは $a$ であるから、対角線の長さは $\sqrt{2}a$ であり、

$$\text{OB} = \text{OC} = \text{OD} = \text{OE} = \frac{\sqrt{2}}{2}a$$

となる。 $\triangle\text{AOB}$ は $\angle\text{AOB} = 90^\circ$ の直角三角形であるから、三平方の定理より、

$$\text{OA}^2 = \text{AB}^2 - \text{OB}^2 = a^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2 = \frac{1}{2}a^2$$

$\text{OA} > 0$ より $\text{OA} = \frac{\sqrt{2}}{2}a$ である。 したがって、正四角錐 $\text{A-BCDE}$ の体積 $V_1$ は、

$$V_1 = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a = \frac{\sqrt{2}}{6}a^3$$

正八面体の体積 $V$ は $V_1$ の2倍であるから、

$$V = 2V_1 = \frac{\sqrt{2}}{3}a^3$$

次に、外接球の半径 $R$ について考える。 外接球はすべての頂点を通るため、その中心は正八面体の中心 $\text{O}$ に一致する。 したがって、外接球の半径 $R$ は中心 $\text{O}$ から各頂点までの距離に等しく、

$$R = \text{OA} = \frac{\sqrt{2}}{2}a$$

最後に、内接球の半径 $r$ を求める。 内接球の中心も、対称性から正八面体の中心 $\text{O}$ に一致する。 内接球の半径 $r$ は、中心 $\text{O}$ から正八面体の各面（例えば正三角形 $\text{ABC}$）に下ろした垂線の長さである。 正八面体は、点 $\text{O}$ を頂点とし、正八面体の各面を底面とする合同な $8$ つの三角錐に分割できる。 1つの面である正三角形 $\text{ABC}$ の面積 $S$ は、

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

である。正八面体の体積 $V$ は、これら $8$ つの三角錐の体積の和に等しいので、

$$V = 8 \cdot \left(\frac{1}{3}Sr\right)$$

が成り立つ。ここに $V = \frac{\sqrt{2}}{3}a^3$、$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ を代入すると、

$$\frac{\sqrt{2}}{3}a^3 = \frac{8}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot r$$

$$\frac{\sqrt{2}}{3}a^3 = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^2 r$$

これを $r$ について解くと、

$$r = \frac{\sqrt{2}a^3}{2\sqrt{3}a^2} = \frac{\sqrt{6}}{6}a$$

解法2

内接球の半径 $r$ を、幾何的に直接求める別解を示す。

正八面体の中心 $\text{O}$ から面 $\text{ABC}$ に下ろした垂線の足を $\text{H}$ とする。この線分 $\text{OH}$ の長さが内接球の半径 $r$ である。 対称性から、点 $\text{H}$ は正三角形 $\text{ABC}$ の重心に一致する。 頂点 $\text{A}$ から辺 $\text{BC}$ に下ろした垂線の足を $\text{M}$ とすると、$\text{AM}$ は正三角形 $\text{ABC}$ の中線であり、その長さは、

$$\text{AM} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$$

点 $\text{H}$ は中線 $\text{AM}$ を $2:1$ に内分するので、

$$\text{AH} = \frac{2}{3}\text{AM} = \frac{\sqrt{3}}{3}a$$

$\triangle\text{OAH}$ は $\angle\text{OHA} = 90^\circ$ の直角三角形であるから、三平方の定理より、

$$\text{OH}^2 = \text{OA}^2 - \text{AH}^2$$

解法1と同様に $\text{OA} = \frac{\sqrt{2}}{2}a$ であるから、代入して、

$$\text{OH}^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2 = \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{3}a^2 = \frac{1}{6}a^2$$

$\text{OH} > 0$ より、

$$r = \text{OH} = \frac{\sqrt{6}}{6}a$$

解説

正多面体の計量に関する基本的な問題である。正八面体を2つの正四角錐に分割して考えることで、体積や外接球の半径は容易に求められる。 内接球の半径を求めるには、空間図形において「体積を2通りに表して方程式を立てる」手法（解法1）が非常に有効かつ汎用的である。また、対称性を利用して直角三角形の辺の長さから直接計算する手法（解法2）も空間図形の把握力を高めるのに役立つ。

答え

体積: $\frac{\sqrt{2}}{3}a^3$

外接球の半径: $\frac{\sqrt{2}}{2}a$

内接球の半径: $\frac{\sqrt{6}}{6}a$