解説

方針・初手

与えられた条件から、各辺の長さがすべて等しいことを導く。空間図形における「垂線」と「外心」の条件の扱い方として、主に2つのアプローチが考えられる。

1つ目は、三平方の定理（ピタゴラスの定理）を用いる図形的なアプローチである。垂線の足と各頂点からなる複数の直角三角形に注目し、斜辺の長さを比較する。 2つ目は、ベクトルを用いる代数的なアプローチである。垂線条件を内積ゼロ、外心条件を距離の等式に翻訳し、各辺の長さに対応するベクトルの大きさや内積の値を求める。

解法1

頂点 $\text{A}$ から平面 $\text{OBC}$ に下ろした垂線の足を $\text{H}_\text{A}$ とする。

$\text{H}_\text{A}$ は平面 $\text{OBC}$ 上にあり、直線 $\text{AH}_\text{A}$ は平面 $\text{OBC}$ に垂直であるから、直線 $\text{AH}_\text{A}$ は平面 $\text{OBC}$ 上のすべての直線と垂直である。 したがって、$\triangle \text{OAH}_\text{A}$、$\triangle \text{BAH}_\text{A}$、$\triangle \text{CAH}_\text{A}$ はそれぞれ $\angle \text{AH}_\text{A}\text{O} = \angle \text{AH}_\text{A}\text{B} = \angle \text{AH}_\text{A}\text{C} = 90^\circ$ の直角三角形である。

三平方の定理より、以下の式が成り立つ。

$$\begin{aligned} \text{OA}^2 &= \text{AH}_\text{A}^2 + \text{H}_\text{A}\text{O}^2 \\ \text{AB}^2 &= \text{AH}_\text{A}^2 + \text{H}_\text{A}\text{B}^2 \\ \text{AC}^2 &= \text{AH}_\text{A}^2 + \text{H}_\text{A}\text{C}^2 \end{aligned}$$

問題の条件より、$\text{H}_\text{A}$ は $\triangle \text{OBC}$ の外心であるから、$\text{H}_\text{A}$ から $\triangle \text{OBC}$ の各頂点までの距離は等しい。すなわち、$\text{H}_\text{A}\text{O} = \text{H}_\text{A}\text{B} = \text{H}_\text{A}\text{C}$ である。 これを上の式に代入して比較すると、

$$\text{OA}^2 = \text{AB}^2 = \text{AC}^2$$

辺の長さは正であるから、$\text{OA} = \text{AB} = \text{AC}$ を得る。

次に、頂点 $\text{B}$ から平面 $\text{OAC}$ に下ろした垂線の足を $\text{H}_\text{B}$ とする。 同様の議論から、$\text{H}_\text{B}$ は $\triangle \text{OAC}$ の外心であり、$\triangle \text{OBH}_\text{B}$、$\triangle \text{ABH}_\text{B}$、$\triangle \text{CBH}_\text{B}$ に三平方の定理を適用することで、

$$\text{OB}^2 = \text{AB}^2 = \text{CB}^2$$

が成り立ち、$\text{OB} = \text{AB} = \text{BC}$ を得る。

さらに、頂点 $\text{C}$ から平面 $\text{OAB}$ に下ろした垂線の足を $\text{H}_\text{C}$ とする。 同様の議論から、$\text{H}_\text{C}$ は $\triangle \text{OAB}$ の外心であり、$\triangle \text{OCH}_\text{C}$、$\triangle \text{ACH}_\text{C}$、$\triangle \text{BCH}_\text{C}$ に三平方の定理を適用することで、

$$\text{OC}^2 = \text{AC}^2 = \text{BC}^2$$

が成り立ち、$\text{OC} = \text{AC} = \text{BC}$ を得る。

以上より、$\text{OA} = \text{OB} = \text{OC} = \text{AB} = \text{BC} = \text{CA}$ が成り立つ。 四面体 $\text{OABC}$ のすべての辺の長さが等しいため、四面体 $\text{OABC}$ は正四面体である。

解法2

$\overrightarrow{\text{OA}} = \vec{a}$、$\overrightarrow{\text{OB}} = \vec{b}$、$\overrightarrow{\text{OC}} = \vec{c}$ とする。

頂点 $\text{A}$ から平面 $\text{OBC}$ に下ろした垂線の足を $\text{H}_\text{A}$ とする。 $\overrightarrow{\text{AH}_\text{A}}$ は平面 $\text{OBC}$ に垂直であるから、$\overrightarrow{\text{AH}_\text{A}} \perp \vec{b}$ かつ $\overrightarrow{\text{AH}_\text{A}} \perp \vec{c}$ である。 よって、$\overrightarrow{\text{AH}_\text{A}} \cdot \vec{b} = 0$ かつ $\overrightarrow{\text{AH}_\text{A}} \cdot \vec{c} = 0$ が成り立つ。

$\overrightarrow{\text{AH}_\text{A}} = \overrightarrow{\text{OH}_\text{A}} - \vec{a}$ より、

$$\begin{aligned} (\overrightarrow{\text{OH}_\text{A}} - \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0 \iff \overrightarrow{\text{OH}_\text{A}} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} \\ (\overrightarrow{\text{OH}_\text{A}} - \vec{a}) \cdot \vec{c} = 0 \iff \overrightarrow{\text{OH}_\text{A}} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} \end{aligned}$$

また、$\text{H}_\text{A}$ は $\triangle \text{OBC}$ の外心であるから、$|\overrightarrow{\text{H}_\text{A}\text{O}}| = |\overrightarrow{\text{H}_\text{A}\text{B}}| = |\overrightarrow{\text{H}_\text{A}\text{C}}|$ が成り立つ。 $|\overrightarrow{\text{H}_\text{A}\text{O}}|^2 = |\overrightarrow{\text{H}_\text{A}\text{B}}|^2$ について、両辺を原点 $\text{O}$ を始点とするベクトルで表すと、

$$|\overrightarrow{\text{OH}_\text{A}}|^2 = |\vec{b} - \overrightarrow{\text{OH}_\text{A}}|^2$$

右辺を展開して整理すると、

$$|\overrightarrow{\text{OH}_\text{A}}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2\vec{b} \cdot \overrightarrow{\text{OH}_\text{A}} + |\overrightarrow{\text{OH}_\text{A}}|^2$$

$$|\vec{b}|^2 = 2\vec{b} \cdot \overrightarrow{\text{OH}_\text{A}}$$

これに $\overrightarrow{\text{OH}_\text{A}} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b}$ を代入すると、

$$|\vec{b}|^2 = 2\vec{a} \cdot \vec{b}$$

同様に、$|\overrightarrow{\text{H}_\text{A}\text{O}}|^2 = |\overrightarrow{\text{H}_\text{A}\text{C}}|^2$ からは

$$|\vec{c}|^2 = 2\vec{a} \cdot \vec{c}$$

が得られる。

次に、頂点 $\text{B}$ から平面 $\text{OAC}$ に下ろした垂線の足を $\text{H}_\text{B}$ とする。 同様に考えると、$\overrightarrow{\text{BH}_\text{B}} \cdot \vec{a} = 0$、$|\overrightarrow{\text{H}_\text{B}\text{O}}| = |\overrightarrow{\text{H}_\text{B}\text{A}}|$ から $|\vec{a}|^2 = 2\vec{a} \cdot \vec{b}$ が得られ、$\overrightarrow{\text{BH}_\text{B}} \cdot \vec{c} = 0$、$|\overrightarrow{\text{H}_\text{B}\text{O}}| = |\overrightarrow{\text{H}_\text{B}\text{C}}|$ から $|\vec{c}|^2 = 2\vec{b} \cdot \vec{c}$ が得られる。

さらに、頂点 $\text{C}$ から平面 $\text{OAB}$ に下ろした垂線の足を $\text{H}_\text{C}$ とする。 同様に考えると、$\overrightarrow{\text{CH}_\text{C}} \cdot \vec{a} = 0$、$|\overrightarrow{\text{H}_\text{C}\text{O}}| = |\overrightarrow{\text{H}_\text{C}\text{A}}|$ から $|\vec{a}|^2 = 2\vec{a} \cdot \vec{c}$ が得られ、$\overrightarrow{\text{CH}_\text{C}} \cdot \vec{b} = 0$、$|\overrightarrow{\text{H}_\text{C}\text{O}}| = |\overrightarrow{\text{H}_\text{C}\text{B}}|$ から $|\vec{b}|^2 = 2\vec{b} \cdot \vec{c}$ が得られる。

以上の結果をまとめると、

$$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 = 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\vec{b} \cdot \vec{c} = 2\vec{c} \cdot \vec{a}$$

が成り立つ。このとき、四面体の各辺の長さの2乗は以下のようになる。

$$\begin{aligned} \text{OA}^2 &= |\vec{a}|^2 \\ \text{OB}^2 &= |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 \\ \text{OC}^2 &= |\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 \\ \text{AB}^2 &= |\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - |\vec{a}|^2 + |\vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 \\ \text{BC}^2 &= |\vec{c} - \vec{b}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} + |\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 - |\vec{a}|^2 + |\vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 \\ \text{CA}^2 &= |\vec{a} - \vec{c}|^2 = |\vec{c}|^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{a} + |\vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 - |\vec{a}|^2 + |\vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 \end{aligned}$$

したがって、$\text{OA} = \text{OB} = \text{OC} = \text{AB} = \text{BC} = \text{CA}$ となり、四面体 $\text{OABC}$ のすべての辺の長さが等しいため、正四面体であることが示された。

解説

垂線の足が対面の外心に一致するという条件から、直角三角形の斜辺が等しくなることに気付けるかどうかが鍵となる問題である。解法1のように図形的に見抜くことができれば、計算をほとんど行わずに証明を完了させることができる。 一方で、図形的な性質に気付けなくても、解法2のようにベクトルを用いて条件を淡々と立式していけば、確実に解にたどり着くことができる。空間ベクトルにおける「垂線 $\iff$ 内積0」「長さ $\iff$ ベクトルの大きさ」への翻訳は定石である。

答え

四面体OABCのすべての辺の長さが等しいことを示し、正四面体であることを証明した。（証明は本文参照）