解説

方針・初手

空間座標を導入し、球の中心と半径から中心間の距離についての関係式を立てる。 半径 $1$ の $2$ つの球が接していることから、接点を原点とし、中心が $z$ 軸上にあるように座標軸を設定すると見通しがよい。 次に、半径 $r$ の球が先の $2$ つの球に接する条件から、その中心が描く図形を特定する。 最後に、$8$ 個の球が互いに接しながら環状に並ぶ条件を、正八角形の幾何的性質を用いて処理する。

解法1

半径 $1$ の $2$ つの球を $S_1, S_2$ とする。これらは互いに接しているため、その接点を原点 $O$ とし、$S_1, S_2$ の中心が $z$ 軸上にくるように空間座標を定める。 $S_1, S_2$ の中心の座標は、それぞれ $(0, 0, 1), (0, 0, -1)$ とおける。

$S_1, S_2$ の両方に接する半径 $r \ (>0)$ の球を $T$ とし、その中心の座標を $(x, y, z)$ とする。 球 $T$ は $S_1, S_2$ と外接するため、中心間の距離について以下の式が成り立つ。

$$x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = (1 + r)^2$$

$$x^2 + y^2 + (z + 1)^2 = (1 + r)^2$$

この $2$ 式の辺々を引くと、

$$(z - 1)^2 - (z + 1)^2 = 0$$

$$-4z = 0 \iff z = 0$$

これより、球 $T$ の中心は $xy$ 平面上にあることがわかる。 $z = 0$ を上の式に代入すると、

$$x^2 + y^2 + 1 = (1 + r)^2$$

$$x^2 + y^2 = r^2 + 2r$$

すなわち、球 $T$ の中心は、$xy$ 平面上で原点を中心とする半径 $\sqrt{r^2 + 2r}$ の円周上にある。

次に、この球 $T$ と同じ半径 $r$ の球が $8$ 個、$S_1, S_2$ に接しながら両隣の球とも接するように並ぶ条件を考える。 これら $8$ 個の球の中心は、すべて $xy$ 平面上の半径 $R = \sqrt{r^2 + 2r}$ の円周上にあり、両隣の球と接していることから、中心間の距離は $2r$ である。 したがって、$8$ 個の球の中心は、半径 $R$ の円に内接する正八角形の頂点をなす。

この正八角形の $1$ 辺の長さが $2r$ であるから、円の半径 $R$ との間には次の関係が成り立つ。 正八角形の頂点を結ぶ三角形に余弦定理を用いて、

$$(2r)^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cos \frac{360^\circ}{8}$$

$$4r^2 = 2R^2 (1 - \cos 45^\circ)$$

$$4r^2 = 2 \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) R^2$$

$$4r^2 = (2 - \sqrt{2}) R^2$$

ここで、$R^2 = r^2 + 2r$ を代入すると、

$$4r^2 = (2 - \sqrt{2})(r^2 + 2r)$$

$r > 0$ であるから、両辺を $r$ で割って整理すると、

$$4r = (2 - \sqrt{2})(r + 2)$$

$$4r = (2 - \sqrt{2})r + 2(2 - \sqrt{2})$$

$$(2 + \sqrt{2})r = 4 - 2\sqrt{2}$$

$$r = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$$

分母を有理化して計算する。

$$r = \frac{(4 - 2\sqrt{2})(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})}$$

$$r = \frac{8 - 4\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 4}{4 - 2}$$

$$r = \frac{12 - 8\sqrt{2}}{2}$$

$$r = 6 - 4\sqrt{2}$$

これは $r > 0$ を満たしている。

解説

空間図形の問題においては、対称性を生かして適切に座標軸を設定することで、計算量を大きく減らすことができる。 本問では、半径 $1$ の $2$ 球の接点を原点とし、中心軸を $z$ 軸とすることで、周りに配置される $8$ 球の中心が $xy$ 平面上にあるという事実を容易に導くことができる。 そこから先は平面図形（正八角形）の幾何的な問題に帰着される。 正多角形の一辺と外接円の半径の関係を立式する際には、余弦定理や半角の公式を利用するのが定石である。

答え

$r = 6 - 4\sqrt{2}$